Question

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла равна одному из двух отрезков , на которые она разделила противоположную сторону. Докажите что она вдвое длиннее второго из этих отрезков.    Помогите как доказать..?

Answer 1

Треугольник АВС, уголС=90., ВД- биссектриса, АД=ВД, треугольник АВД равнобедренный, угол А=уголАВД=уголДВС
угол А + уголАВД + уголДВС =90,  угол А=уголАВД=уголДВС = 90/3=30
треугольник ДВС прямоугольный, уголДВС=30, катет ДС лежит против угла 30 =1/2гипотенузы ДВ, значит ВД=АД = 2ДС

Answer 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90° и биссектриса угла C делит сторону AB на два отрезка: AC и BC.

Пусть l – длина биссектрисы, а k – длина второго отрезка, т.е. AB = AC + BC.

Из теоремы о биссектрисе в треугольнике следует, что AC/BC = AB/BC = (cos(C/2))/(sin(C/2)). Также, из определения тангенса можно выразить sin(C/2) и cos(C/2) через катеты и гипотенузу треугольника ABC: sin(C/2) = AC/AB, cos(C/2) = BC/AB.

Заменим в выражении для AC/BC значения sin(C/2) и cos(C/2):

AC/BC = (cos(C/2))/(sin(C/2)) = BC/AB / AC/AB = BC/AC

Тогда AB = AC + BC превращается в AC * (1 + BC/AC) = AC * (BC/AC + 1) = AC * AC/BC * 2.

Деля обе части на AC, получаем:

k = AC/BC = l/2

что и требовалось доказать.