Question

В цилиндре с радиусами ОС и ОС1 равными 5, высотой 15, на окружности радиуса ОС взята точка Д, С1Д = 17. Найти расстояние между прямыми С1Д и ОО1.

Answer 1

Найдем хорду основания С1Д1 (проекцию отрезка С1Д на основание) по теореме пифагора
С1Д1^2= С1Д^2 – h^2=17^2-15^2= 289-225=64
С1Д1=8.
Искомое расстояние будет равно перпендикуляру проведенному из центра основания к хорде С1Д1. 
Рассмотрим треугольник С1Д1О1. С1О1=Д1О1 так как являются радиусами. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой значит по теореме Пифагора найдем высоту треугольника С1Д1О1. 5^2-4^2=25-16=9 расстояние между прямыми С1Д и ОО1 = 3 см

Answer 2

Сначала найдём расстояние между точками С1 и Д. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ОС1Д:
$$
С1Д = \sqrt{ОС1^2 + ОД^2} = \sqrt{5^2 + 17^2} = \sqrt{314}.
$$
Заметим, что прямая ОС1 проходит через точку Д, что значит, что вектор С1Д - коллинеарен вектору ОС1. Значит, вектор ОО1 можно представить как сумму векторов ОС1 и С1Д с нужными коэффициентами:
$$
\overrightarrow{OO1} = \overrightarrow{OC1} + \overrightarrow{C1D} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC1} + \frac{\overrightarrow{OC1}}{\left|\overrightarrow{OC1}\right|}\cdot \left|\overrightarrow{C1D}\right|.
$$
Вычислим это выражение:
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{OC} &= (5,0,0),\\
\overrightarrow{OC1} &= (-5,0,0),\\
\frac{\overrightarrow{OC1}}{\left|\overrightarrow{OC1}\right|}&=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\\
\left|\overrightarrow{C1D}\right| &= \sqrt{314},
\end{aligned}
\quad\quad
\begin{aligned}
\overrightarrow{OO1} &= \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC1} + \frac{\overrightarrow{OC1}}{\left|\overrightarrow{OC1}\right|}\cdot \left|\overrightarrow{C1D}\right|\\
&= \left(\frac{-5}{\sqrt{2}} + \frac{17}{2\sqrt{2}}, 0, \frac{-5}{\sqrt{2}} - \frac{17}{2\sqrt{2}}\right)\\
&= \left(-\frac{5\sqrt{2} - 17}{2\sqrt{2}}, 0, \frac{-5\sqrt{2} - 17}{2\sqrt{2}}\right).
\end{aligned}
$$
Осталось вычислить расстояние между прямыми С1Д и ОО1 по формуле:
$$
d = \frac{\left|\overrightarrow{C1D}\times \overrightarrow{OO1}\right|}{\left|\overrightarrow{C1D}\right|} = \frac{\left|\begin{pmatrix}0 & -17 & 0\\ 0 & 0 & \sqrt{314}\\ -\frac{5\sqrt{2}-17}{2\sqrt{2}} & 0 & \frac{-5\sqrt{2}-17}{2\sqrt{2}}\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{314}} = \frac{5\sqrt{2}-17}{2\sqrt{2}} \approx \boxed{2.16}.
$$