Question

В параллелограмме ABCD проведены высоты BM и BN (на стороны CD и AD соответственно). CM : MD=8 : 3; AN : ND = 2 : 3. Найдите длины отрезков, на которые данные высоты делят диагональ AC, если длина диагонали 28

Answer 1

Ловите решения в файлах.

Answer 2

Обозначим через $h_1$ и $h_2$ длины высот, опущенных соответственно на диагонали $AC$ из вершин $B$ и $N$.

Заметим, что треугольники $ABM$ и $DCM$ подобны, так как они имеют две пары соответственных углов. Поэтому мы можем написать пропорцию между их сторонами:

$\frac{BM}{CM} = \frac{AB}{CD}.$

Из условия задачи мы знаем, что $\frac{CM}{MD} = \frac{8}{3}$, поэтому можно выразить $CM$ через $MD$:

$CM = \frac{8}{11} AC, \quad MD = \frac{3}{11} AC.$

Также мы знаем, что $AB = DC$, поэтому пропорцию можно записать в следующем виде:

$\frac{BM}{\frac{8}{11} AC} = \frac{AB}{AC} \quad \Rightarrow \quad BM = \frac{8}{11} AB.$

Аналогично, для треугольников $ABN$ и $ADN$ имеем:

$\frac{BN}{AN} = \frac{AB}{AD}.$

Из условия задачи мы знаем, что $\frac{AN}{ND} = \frac{2}{3}$, поэтому можно выразить $AN$ через $ND$:

$AN = \frac{2}{5} AC, \quad ND = \frac{3}{5} AC.$

Также мы знаем, что $AB = AD$, поэтому пропорцию можно записать в следующем виде:

$\frac{BN}{\frac{2}{5} AC} = \frac{AB}{AC} \quad \Rightarrow \quad BN = \frac{2}{5} AB.$

Теперь мы можем выразить длины отрезков, на которые высоты $BM$ и $BN$ делят диагональ $AC$:

$h_1 = AC - BM - BN = AC - \frac{8}{11} AB - \frac{2}{5} AB = AC - \frac{98}{55} AB,$

$h_2 = AC - AN - ND = AC - \frac{2}{5} AB - \frac{3}{5} AC = \frac{2}{5} (AC - AB) = \frac{2}{5} BD.$

Таким образом, чтобы найти длины отрезков, на которые данные высоты делят диагональ $AC$, нам нужно найти длины сторон $AB$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$.

Заметим, что треугольники $ABM$ и $DCM$ подобны, поэтому мы можем написать пропорцию между их сторонами:

$$$$