Question

ДАЮ 34 БАЛЛА ТОМУ, КТО РЕШИТ! Найдите периметр прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной в него окружности делит гипотенуза на отрезки 5 см и 12 см.

Answer 1

34 периметр треугольника

Answer 2

P= (12-5)*2=14 ответ

Answer 3

Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты a и b, а гипотенузу c. Тогда известно, что радиус вписанной в треугольник окружности равен:

r = (a + b - c) / 2,

а также, что точка касания этой окружности с гипотенузой делит ее на отрезки длины p и q, причем:

p + q = c, p/q = b/a.

Из этих соотношений можно найти значения p и q:

p = cq / (b + a), q = cp / (b + a).

Поскольку p + q = c, получаем уравнение:

cq / (b + a) + cp / (b + a) = c,

или

c(p + q) = bc/a + ac/b,

откуда

c^2 = ab / (a + b).

Теперь можно выразить радиус r через катеты a и b:

r = (a + b - c) / 2 = (a + b - sqrt(ab/(a+b))) / 2.

И, наконец, периметр треугольника равен:

P = a + b + c = a + b + sqrt(ab/(a+b)).

Осталось только подставить значения отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания вписанной окружности:

5 + 12 + sqrt(5*12/(5+12)) = 17 + sqrt(60/17) ≈ 32.34.

Ответ: периметр прямоугольного треугольника ≈ 32.34 см.