Question

Сумма первых пяти членов прогрессии равна 15 , а сумма первых четырёх членов этой прогрессии равна 6, найти разность данной прогрессии ?

Answer 1

6 = a+a+d+a+2d+a+3d = 4a+6d

15= a+a+d+a+2d+a+3d+a+4d = 5a + 10d

a+2d=3

2a+3d = 3

2a+4d=6

d = 3

a=-3

Разность равна 3. Первый член прогрессии равен -3

Answer 2

Ответ: разность равна 3.

Решение:

Запишем по-другому члены арифметической прогрессии (а с индексом - это член арифметической прогрессии, а d - разность):

а₁ = а₁,

а₂ = а₁ + d,

а₃ = a₁ + 2d,

a₄ = a₁ + 3d,

a₅ = a₁ + 4d.

При этом мы знаем, что:

a₁ + ... + а₅ = 15

а₁ + (а₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a₁ + 3d) + (a₁ + 4d) = 15

5a₁ + 10d = 15.

Точно также:

4a₁ + 6d = 6.

Составим систему уравнений, предварительно сократив каждое из них:

a₁ + 2d = 3

2a₁ + 3d = 3

Подставляем значение а₁ во второе уравнение и решаем его:

2(3 - 2d) + 3d = 3

6 - 4d + 3d = 3

6 - d = 3

d = 3.

Отсюда а₁ = -3.

Проверяем:

-3 + 0 + 3 + 6 = 6

-3 + 0 + 3 + 6 + 9 = 15.

Задача решена!

Answer 3

Пусть первый член прогрессии равен a, а разность прогрессии равна d. Тогда по условию задачи у нас есть два уравнения:

a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 15 (1) a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 6 (2)

Разрешим уравнение (2) относительно a и подставим в уравнение (1), чтобы получить уравнение только для d:

a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 6 4a + 6d = 6 2a + 3d = 3 (3)

a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 15 5a + 10d = 15 a + 2d = 3 (4)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4) для получения значения a:

a + 2d - (2a + 3d) = 3 - 6 -a = -3 a = 3

Теперь подставим значение a в уравнения (3) или (4) и найдем значение d:

2a + 3d = 3 2(3) + 3d = 3 6 + 3d = 3 3d = -3 d = -1

Таким образом, первый член прогрессии равен 3, а разность равна -1. Ответ: -1.