Question

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=71° и ∠OAB=22°. Найдите угол BCO

Answer 1

Ответ: 49°

Объяснение: Соединим В с центром окружности. ВО=АО=СО - радиусы.  

∆ АОВ - равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ⇒ ∠ОВА=∠ОАВ=22°.

∠СВО=∠СВА -∠ОВА=71°-22°=49°

∆СОВ равнобедренный.  Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ⇒ ∠ВСО=∠СВО=49°.

Answer 2

Так как O является центром окружности, то отрезки OB и OC равны между собой, то есть OB = OC = r (где r - радиус окружности). Также из свойств окружности следует, что ∠BOC = 2∠BAC (где ∠BAC - центральный угол, соответствующий дуге BC).

Заметим, что треугольник OAB - равнобедренный (OA = OB), следовательно, ∠OBA = ∠OAB = 22°. Тогда ∠BAC = ∠OBA + ∠OBC = 22° + ∠OBC.

Подставляем полученное выражение в формулу для угла ∠BOC: ∠BOC = 2∠BAC = 2(22° + ∠OBC) = 44° + 2∠OBC.

Также из условия задачи известно, что ∠ABC = 71°. Так как ∠ABC - это внешний угол треугольника BOC, то он равен сумме внутренних углов, то есть ∠BOC + ∠BCO = 71°.

Подставляем выражение для ∠BOC и находим угол ∠BCO:

44° + 2∠OBC + ∠BCO = 71°

∠BCO + 2∠OBC = 27°

Так как OB = OC, то треугольник BOC - равнобедренный, а значит, ∠OBC = ∠OCB. Пусть эти углы равны x. Тогда получаем систему уравнений:

∠BCO + 2x = 27°

∠OBC = x

Решаем ее и находим:

∠BCO = 27° - 2x

∠OBC = x

Из первого уравнения находим x:

2x = 27° - ∠BCO

x = (27° - ∠BCO)/2

Подставляем x во второе уравнение:

∠OBC = (27° - ∠BCO)/2

∠OBC = 13.5° - 0.5∠BCO

Теперь подставляем выражение для ∠OBC в первое уравнение и находим ∠BCO:

∠BCO + 2(13.5° - 0.5∠BCO) = 27°

∠BCO + 27° - ∠BCO = 27°

∠BCO = 0°

Таким образом, мы получаем, что ∠BCO = 0°. Это означает, что точки B и C лежат на одной прямой, проходящей через центр O.