Question

Из точки А проведены две касательные к окружности с уентром в точке О и радиусом 7 см. Найдите угол между ними, если АО=14 см

Answer 1

Из точки А проведены две касательные к окружности с уентром в точке О и радиусом 7 см. Найдите угол между ними, если АО=14 см

Answer 2

Рассмотрим следующую схему:

Заметим, что касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. Таким образом, мы можем провести радиусы из точки $O$ к точкам касания $B$ и $C$, и получить два прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$.

Так как $AO=14$ и радиус окружности $OB=OC=7$, то мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти сторону $AB$ и $AC$:

$AB = \sqrt{AO^2 - OB^2} = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{147}$

$AC = \sqrt{AO^2 - OC^2} = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{147}$

Заметим также, что угол $\angle BOC$ является центральным углом, который соответствует дуге $BC$. Так как $OB=OC$, то эта дуга является дугой окружности, которая делится на две равные дуги $\angle BOC = 180^\circ/2 = 90^\circ$.

Таким образом, мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти угол между $AB$ и $AC$:

$\cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{2\cdot 147 - 2\cdot 49}{2\cdot 147} = \frac{49}{147} = \frac{1}{3}$

$\angle BAC = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70.53^\circ$

Таким образом, угол между касательными равен примерно $70.53^\circ$.