Question

При каких значения k сумма квадратов действительных корней уравнения x^2+(4k+1)x-3k+4=0 равна 29

Answer 1

По теореме Виета
х₁+х₂=4k+1
х₁·х₂=3k+4

x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(4k+1)²-2·(-3k+4)=16k²+8k+1+6k-8=16k²+14k-7

16k²+14k-7=29
8k²+7k-18=0
D=7²-4·8·(-18)=49+576=625
k=(-7-25)/16=-2  или  k=(-7+25)/16=18/16=1,125

О т в е т. k=-2; k=1,125.

Answer 2

Для данного квадратного уравнения с действительными корнями, сумма квадратов корней может быть выражена как:

(sum of roots)^2 - 2(product of roots)^2

Из уравнения x^2+(4k+1)x-3k+4=0 мы можем определить, что сумма корней равна - (4k+1) и произведение корней равно (-3k+4).

Таким образом, мы можем записать уравнение для суммы квадратов корней как:

(4k+1)^2 - 2(-3k+4)^2 = 29

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

16k^2 + 28k - 45 = 0

Решая это уравнение, мы найдем два значения k:

k = -9/4 или k = 5/4

Таким образом, сумма квадратов действительных корней уравнения будет равна 29 при k = -9/4 или k = 5/4.