Question

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5:2 считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника если его периметр равен 72 см​

Answer 1

Отрезки касательных из одной точки равны. Обозначим отрезки на боковой стороне 5x и 2x. Тогда периметр равен 18x.

x=72/18 =4

a=b=7x =28

c=4x =16

Answer 2

Обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника через $AB$, а точку касания вписанной окружности с $AB$ через $M$. Пусть $BC$ и $AC$ - оставшиеся две стороны треугольника, причем $BC = AC = x$, а $AB = y$.

Так как $AB$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, то $BM = \frac{5}{7} y$ и $AM = \frac{2}{7} y$.

Заметим, что $BM$ является медианой треугольника $ABC$, а $AM$ - высотой. Тогда мы можем воспользоваться формулами для медианы и высоты треугольника:

$$x^2 = BM^2 = \left(\frac{5}{7} y\right)^2 + \left(\frac{2}{7} y\right)^2 = \frac{29}{49} y^2$$

$$x = \frac{2}{y} \sqrt{s(s-2x)(s-y)(s-y)} = \frac{2}{y} \sqrt{(36-x)(x)(y-x)(y)}$$

где $s = \frac{1}{2}(x+y+y) = \frac{1}{2}(2y+x)$ - полупериметр треугольника.

Из этих двух уравнений можно выразить $x$ и $y$:

$$x = \frac{84}{\sqrt{29^2+4\cdot36\cdot29}} \approx 9.61 \text{ см}$$

$$y = \frac{7}{2} \cdot x = \frac{294}{\sqrt{29^2+4\cdot36\cdot29}} \approx 26.53 \text{ см}$$

Таким образом, стороны треугольника равны: $AB \approx 26.53 \text{ см}$, $AC \approx 9.61 \text{ см}$ и $BC \approx 9.61 \text{ см}$.