Question

в трапеции авсд известны длины оснований ад=18 вс=9. диагонали трапеции ас и вд пересекаются в точке о. найдите площадь трапеции авсд, если площадь треугольника аод равна 54

Answer 1

k=BC/AD (по св-у трап.)

k=9/18=1/2;

Sboc/Saod=k^2    Sboc/54=1/4    Sboc=13.5;

OK=2Saod/AD=108/18=6;

HO= 2Sboc/BC= 27/9=3;

HK=HO+OK=3+6=9;

S=(AD+BC/2)*HK= (18+9/2)*9= 121.5

Ответ: 121.5

Answer 2

Чтобы найти площадь трапеции $ABCD$, нужно умножить ее высоту на среднее арифметическое длин оснований:

$S_{ABCD} = h \cdot \frac{a+b}{2}$

где $a$ и $b$ - длины оснований, а $h$ - высота трапеции.

Чтобы найти высоту трапеции, нужно воспользоваться свойством трапеции: диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, из которых два прямоугольных. Площадь одного из этих треугольников, например, $\triangle AOD$, равна половине произведения его катетов:

$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot OH$

где $AD$ и $OH$ - катеты прямоугольного треугольника $\triangle AOD$.

По условию задачи, $S_{\triangle AOD} = 54$. Заметим, что $AD = AB - BD = a - b$, а $OH = h$, где $h$ - расстояние между параллельными основаниями трапеции, то есть высота трапеции. Подставим это в формулу для площади треугольника:

$54 = \frac{1}{2} \cdot (a-b) \cdot h$

Выразим $h$:

$h = \frac{108}{a-b}$

Теперь можем найти площадь трапеции:

$S_{ABCD} = h \cdot \frac{a+b}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{108}{a-b} \cdot (a+b) = \frac{54}{a-b} \cdot (a+b)$

Подставим значения $a=18$ и $b=9$:

$S_{ABCD} = \frac{54}{18-9} \cdot (18+9) = 162$

Ответ: площадь трапеции $ABCD$ равна $162$ квадратных единиц.