Question

В равнобокой трапеции ABCD известно что AB=CD=2 см BC = 6√2 см AD = 8√2 см. Найдите углы трапеции.

Answer 1

Решение..................

Answer 2

Чтобы найти углы трапеции ABCD, нужно использовать свойства равнобедренной трапеции. В равнобедренной трапеции две боковые стороны равны, а основания параллельны.

Для начала найдем высоту трапеции, которая является отрезком, перпендикулярным основаниям AB и CD. Обозначим высоту через h. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AHD:

$(AD/2)^2 - h^2 = AH^2$

$(8\sqrt{2}/2)^2 - h^2 = AH^2$

$32 - h^2 = AH^2$

Аналогично для прямоугольного треугольника BHC:

$(BC/2)^2 - h^2 = BH^2$

$(6\sqrt{2}/2)^2 - h^2 = BH^2$

$18 - h^2 = BH^2$

Так как AB=CD, то точки H и G (середина AB и CD соответственно) совпадают.

Из параллельности AB и CD, следует, что треугольники AHB и DGC подобны. Поэтому:

$\frac{AH}{DG} = \frac{AB}{CD} = 1$

$AH = DG = h$

Также треугольники BHC и AGD подобны. Поэтому:

$\frac{BH}{AG} = \frac{BC}{AD} = \frac{6\sqrt{2}}{8\sqrt{2}} = \frac{3}{4}$

$BH = \frac{3}{4}AG$

Сложив два последних уравнения, получаем:

$h + \frac{3}{4}AG = AG$

$h = \frac{1}{4}AG$

Подставляем это значение для h в первые два уравнения и получаем:

$32 - \frac{1}{16}AG^2 = AH^2 = DG^2 = 18 - \frac{1}{16}AG^2 - \frac{9}{16}AG^2$

$32 - \frac{1}{16}AG^2 = 18 - \frac{5}{16}AG^2$

$\frac{3}{16}AG^2 = 14$

$AG^2 = \frac{16}{3} \cdot 14 = \frac{224}{3}$

$AG = \sqrt{\frac{224}{3}} = \frac{4\sqrt{14}}{\sqrt{3}}$

Теперь можем найти углы трапеции. Обозначим через α и β соответственно два угла между основаниями AB и CD.

Так как треугольники AHB и DGC подобны, то:

$\angle AHB = \angle DGC = β$

Так