Question

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от середины ребра CC1 до плоскости AB1C (ответ:√3/6)

Answer 1

Пусть А - начало координат

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось Z - AA1

Координаты точки M - Середины СС1

M(1;1;1/2)

координаты точек

B1(1;0;1)

C(1;1;0)

Уравнение плоскости AB1C (проходит через начало координат)

ax+by+cz=0

Подставляем координаты точек плоскости

а+с=0

а+b=0

Пусть с= -1 Тогда а=1 b= -1

Искомое уравнение

x-y-z=0

нормализованное уравнение плоскости

k= √(1+1+1) = √3

x/√3-y/√3-z/√3=0

подставляем координаты M в нормализованное уравнение чтобы найти искомое расстояние

| 1/√3-1/√3-1/(2√3) | = √3/6

Answer 2

Для начала, найдем координаты точек, чтобы иметь более ясное представление о фигуре. Пусть сторона куба равна единице, тогда координаты вершин куба имеют вид:

A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A1(0,0,1), B1(1,0,1), C1(1,1,1), D1(0,1,1).

Середина ребра CC1 имеет координаты ((1+1)/2, (1+1)/2, (0+1)/2) = (1, 1, 1/2).

Плоскость ABC имеет общее уравнение x + y + z = 1.

Теперь найдем расстояние от точки (1, 1, 1/2) до плоскости ABC. Для этого воспользуемся формулой для расстояния от точки до плоскости:

d = |ax + by + cz + d| / √(a^2 + b^2 + c^2),

где a, b, c - коэффициенты общего уравнения плоскости, d - расстояние от начала координат до плоскости.

В нашем случае a = 1, b = 1, c = 1, d = 1, поскольку плоскость проходит через начало координат.

Таким образом, расстояние от точки (1, 1, 1/2) до плоскости ABC равно:

d = |11 + 11 + 1*(1/2) + 1| / √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3 / 2√3 = 1/2.

Но это расстояние до самой плоскости ABC, а не до ребра CC1, поэтому нам нужно найти проекцию точки (1, 1, 1/2) на ребро CC1. Обозначим эту проекцию точкой P.

Вектор направления ребра CC1 имеет координаты (0, 0, 1), поэтому проекция точки (1, 1, 1/2) на ребро CC1 будет иметь координаты (1, 1, 1/2) - (0, 0, 1/2) = (1, 1, 0).

Теперь нам нужно найти расстояние от точки P до точки (1, 1, 1/2), которое будет равно длине вектора, соединяющего эти точки:

√[(1-1)^2 + (1-1)^2 + (1/2-0)^2] = √(1/4) = 1/2.

Таким