Question

Основание пирамиды - ромб с тупым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите площать полной поверхности пирамиды, если её высота равна H. Буду очень благодарен тому, кто решит эту задачу.

Answer 1

Высота боковой грани нашей пирамиды равна (из прямоугольного треугольника SPO) SP= SO/Sinβ  или
SP=H/Sinβ.
Из этого же треугольника катет ОР=Н/tgβ.
Но ОР - это половина высоты ромба, проведенной через его центр - точку О пересечения диагоналей.
Следовательно, высота ромба равна 2Н/tgβ.
Острый угол основания (ромба) равен (180-α)° (так как углы ромба, прилежащие к одной стороне, равны в сумме 180°).
Заметим, что Sin(180-α) = Sinα (формула приведения).
Тогда сторона ромба из прямоугольного треугольника АВТ, где ВТ - высота ромба, проведенная из вершины тупого угла), равна АВ=ВТ/Sinα. Или АВ=2Н/(Sinα*tgβ).
Площадь основания (ромба) равна So=а²Sinα. Или
So=4Н²/(Sinα*tg²β).
Площадь боковой грани пирамиды равана
Sг=(1/2)a*Hг=(1/2)*2Н/(Sinα*tgβ)*(H/Sinβ)=Н²/(Sinα*tgβ*Sinβ).
Тогда площадь полной поверхности пирамиды равна
S=4Н²/(Sinα*tg²β) + 4Н²/(Sinα*tgβ*Sinβ) =(4Н²/(Sinα*tgβ))*(1/tgβ+1/Sinβ) = 4Н²*Cosβ(1+Cosβ)/Sinα*Sin²β.
Применив формулу ctg(β/2) = (1+Cosβ)/Sinβ, получим:
S=4Н²*ctgβ*ctg(β/2)/Sinα.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для площади полной поверхности пирамиды:

S = Sосн + Sбок,

где Sосн - площадь основания пирамиды, а Sбок - площадь её боковой поверхности.

Для начала найдём площадь основания пирамиды. Ромб с тупым углом α можно разбить на два равнобедренных треугольника с углами α/2 и 90 градусов. Пусть a и b - длины сторон ромба, а h - высота, опущенная на боковую сторону. Тогда:

Sосн = ab = 2(a/2)(h/tan(α/2)) = (ah)/tan(α/2).

Теперь найдём площадь боковой поверхности пирамиды. По условию, все двугранные углы при основании равны β. Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды. Она представляет собой треугольник со сторонами a, a, и l, где l - длина высоты этой грани (расстояние от её вершины до основания). Применим формулу для площади равнобедренного треугольника:

Sграни = (a*l)/2.

Поскольку угол между двумя такими гранями равен β, а сумма всех трёх углов в треугольнике равна 180 градусов, то мы можем найти длину l с помощью тригонометрических функций:

l = (a/2)*tan(β).

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Sбок = 4Sграни = 2altan(β).

Наконец, мы можем выразить полную площадь поверхности пирамиды через известные величины:

S = Sосн + Sбок = (ah)/tan(α/2) + 2al*tan(β).

Осталось только заменить l на выражение (a/2)*tan(β) и упростить выражение:

S = (ah)/tan(α/2) + 2a^2tan(β) = a(h/tan(α/2) + 2atan(β)).

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна a(h/tan(α/2) + 2a*tan(β)).