Question

В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и С равны. Найдите длину биссектрисы ВД, если периметр треугольника АВС равен 72 см, а периметр треугольника АВД равен 48см.

Answer 1

Если внешние углы при вершинах А и С равны, значит и внутренние углы при этих вершинах тоже равны, следовательно, треугольник АВС равнобедренный.Ав+ВС. Проведём высоту из вершины В.
Тр-ник АВД = тр-ку ДВС
48 + 48 = 96(см) сумма периметров 2-х тр-ков.
96 - 72 = 24(см) разница между периметрами.
Но т.к.  (ВД)  учитывалась 2 раза, надо
24 : 2 = 12(см) = ВД.

Answer 2

48+48=96 - сумма Р двух треугольников
96-72=24 - разница Р
24:2= 12 см
Ответ: длина биссектрисы ВД 12 см.

Answer 3

Обозначим за $BC$, $AC$ и $AB$ стороны треугольника $ABC$, а за $AD$ - биссектрису угла $B$ и точку пересечения биссектрисы с $BC$ - за $E$.

Так как $AD$ является биссектрисой угла $B$, то отношение длин отрезков $BD$ и $DC$ равно отношению длин сторон $AB$ и $AC$:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Также известно, что периметр треугольника $ABC$ равен $72$ см:

$AB+BC+AC=72$

И периметр треугольника $ABD$ равен $48$ см:

$AB+BD+AD=48$

Из первого уравнения можем выразить $AB$ через $BC$ и $AC$:

$AB=72-BC-AC$

Подставляем второе уравнение:

$72-BC-AC+BD+AD=48$

Так как $AD$ - биссектриса, то $BD+DC=BC$, откуда $BD=BC-DC$. Подставляем в предыдущее уравнение и заменяем $AB$ на $72-BC-AC$:

$72-BC-AC+BC-DC+AD=48$

$24=DC+AD$

Теперь заметим, что треугольник $ABD$ и треугольник $ADC$ имеют общую высоту $AE$, так что отношение их площадей равно отношению соответствующих оснований:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}$

Так как биссектриса делит сторону $BC$ на две части в отношении сторон $AB$ и $AC$, то можно считать, что $BD=x$, $DC=y$, $AC=z$, $AB=w$, и получим:

$\frac{\frac{1}{2}xw\sin\angle B}{\frac{1}{2}yz\sin\angle A}=\frac{x}{y}$

Угол $A$ равен углу $C$ (так как внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны), поэтому $\sin\angle A=\sin\angle C$ и можем выразить $w$ через $z$:

$w=\frac{y\sin\angle A}{\sin\angle B}\cdot\frac{x}{z}$

Так как $BD=x$ и $DC=y$, то $BC=x+y$, откуда $z=BC-y=x+y-y=x$, то

$w=\frac{y\sin\angle A}{\sin\angle B}\cdot\frac{x}{x}=y\cdot\frac{\sin\angle A}{\sin\angle B}$

Теперь можем вы