Question

Равнобедренный треугольник ЕКС вписан в окружность. Основание треугольника АС равно радиусу окружности. Найдите величины дуг ЕС ЕК и КС.

Answer 1

Два случая. Решение задания приложено.

Answer 2

Для начала заметим, что так как треугольник ЕКС равнобедренный, то у него две равные стороны: ЕК = ЕС. Также, так как треугольник ЕКС вписан в окружность, то угол ЕКС равен половине угла, соответствующего дуге ЕК.

Пусть O - центр окружности, тогда ОА = ОС = ОЕ (так как равнобедренный треугольник ЕКС вписан в окружность).

Также, из свойств окружности следует, что угол ОСА равен углу, соответствующему дуге ЕК. А так как ОА = ОС, то ОАС - равнобедренный треугольник. Следовательно, угол ОАС равен (180 - угол ОСА) / 2.

Теперь мы можем найти угол ОАС: угол ОАС = (180 - угол ОСА) / 2 = (180 - угол ЕКС) / 2.

Заметим, что угол ЕКС равен углу, соответствующему дуге ЕК. Так как ЕК = ЕС, то дуги ЕС и ЕК равны, и их величина равна углу ЕКС.

Теперь мы можем найти величину дуги КС. Дуга КС равна (360 - угол ОАС) - 2 угла ЕКС.

Итак, мы получили следующие формулы для величин дуг ЕС ЕК и КС:

Дуга ЕК = угол ЕКС Дуга ЕС = угол ЕКС Дуга КС = (360 - угол ОАС) - 2 угла ЕКС = 2 угла ЕКС - (180 - угол ЕКС) = угол ЕКС + угол ОАС - 180.

Осталось только найти угол ЕКС и угол ОАС. Из равнобедренности треугольника ЕКС следует, что угол ЕКС равен (180 - угол ЕСК) / 2. Также, из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол ЕСК равен (180 - угол ЕКС) / 2.

Таким образом, мы имеем систему уравнений:

угол ЕКС = (180 - угол ЕСК) / 2 угол ЕСК = (180 - угол ЕКС) / 2

Решая ее, мы получаем, что угол ЕКС = 60 градусов, угол ЕСК = 60 градусов и угол О