Question

перпендикуляр опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции ,делит его на части ,имеющие длины 63 и 17 .Найдите среднюю линию этой трапеции

Answer 1

63-17=46 нижнее основание
63+17=80 большее основание
средняя линия 46+80/2=63
Ответ:63

Answer 2

Обозначим вершину тупого угла в равнобедренной трапеции как $A$, а основания как $BC$ (большее основание) и $DE$ (меньшее основание). Пусть $M$ - середина $BC$, $N$ - точка пересечения высоты из вершины $A$ с $BC$. Тогда, по свойству прямоугольных треугольников, $AN^2 = AM \cdot AB$, где $AB = BC$.

Пусть $H$ - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из $A$ на $BC$, с $BC$. Тогда, по условию задачи, $BH = 63$ и $HC = BC - BH = 17$. Заметим, что $AH = AN - NH$. Из подобия прямоугольных треугольников $ABH$ и $ANH$ имеем:

$\frac{AB}{AN} = \frac{BH}{NH} \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{BH \cdot AN}{NH} = \frac{63 \cdot \sqrt{AM \cdot AB}}{NH}$

Так как $NH = BM = MC$, то $NH = \frac{BC}{2}$. Подставляя это в выражение для $AB$, получаем:

$AB = \frac{126\sqrt{AM}}{BC}$

С другой стороны, средняя линия $MQ$ трапеции равна $\frac{1}{2}(BC + DE)$. Так как трапеция равнобедренная, то $DE = AB$. Значит,

$MQ = \frac{1}{2}(BC + AB) = \frac{1}{2}\left(BC + \frac{126\sqrt{AM}}{BC}\right)$

Чтобы найти $MQ$, осталось найти $BC$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $BNH$:

$NH^2 = BH^2 - BN^2 = BH^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2$

Подставляя значения $BH$ и $HC$, получаем:

$\left(\frac{BC}{2}\right)^2 = NH^2 = BH^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = 63^2 - 17^2$

Отсюда:

$BC = \sqrt{2 \cdot 63^2} = 63\sqrt{2}$

И, наконец,

$MQ = \frac{1}{2}\left(63\sqrt{2} + \frac{126\sqrt{AM}}{63\sqrt{2}}\right) = \frac{63}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}\sqrt{AM}}{2}$

Ответ: средняя линия трапеции равна $MQ = \frac{63}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}\sqrt{AM}}{2}$.