Question

В прямоугольном треугольнике АВС АС - гипотенуза. Медиана АМ пересекает биссектрису CК в точке О. Найти площадь треугольника АВС, если СО = 9, OК = 5.

Answer 1

Проведём из точки D прямую DK, параллельную ВС, тогда  

ΔADK подобен ΔАВС, ΔDOP подобен ΔМОС по 2 углам ⇒ AB/AD = BC/DK = (1/2)•BC / (1/2)•DK  ;  CO/OD = MC/DP = (1/2)•BC / (1/2)•DK  ⇒  AB/AD = CO/OD = 9/5

Пусть ∠ВСD = ∠ACD = α , тогда cos2α = BC/AC = BD/AD = 4/5 по свойству биссектрисы.

cos2α = 2cos²α - 1  ⇒  cosα = 3/√10  ;  sinα = 1/√10

В ΔBCD:  cosα = BC/DC ⇒ BC = 42/√10  ;  BD = 14/√10

Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания:

S abc/ S bdc = AB/BD = 9/4 ⇒ S abc = (9/4)•S bdc =

= (9/4)•(1/2)•(42/√10)•(14/√10) = 1323/20 = 66,15

ОТВЕТ: S abc = 66,15

Answer 2

Отразим треугольник ABC со всеми его причиндалами (конечно, имея в виду медиану и биссектрису) относительно стороны BC. Что касается наименований, то пусть при отражении точка X переходит в точку X'.

Из подобия треугольников A'K'O' и A'OC следует, что A'K'/K'C=5/4=AK/KB.

Пусть AK=5y, BK=4y. Так как CK - биссектриса, то BC/AC=4/5; Пусть тогда BC=4x, AC=5x; По теореме Пифагора: 16y²+16x²=14²; и 16x²+81y²=25x² ⇔ 3y=x ⇒ 16y²+144y²=196 ⇔ y²=196/160; S=9y×4(3y)/2=54y² = 54×196/160 = 66,15

Answer 3

Пусть точка $B$ лежит на гипотенузе $AC$ и $BM$ является медианой треугольника $ABC$. Также пусть $CK$ является биссектрисой угла $C$ и пересекает $AB$ в точке $L$.

Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $C$, то $OC$ делит угол $ACB$ пополам. Также $OK$ является медианой треугольника $CBL$ и делит его на два равных треугольника. Значит, $BL=LC$ и $\angle KBC = \angle LBC = \angle BCK$. Из этого следует, что треугольник $BKC$ является равнобедренным, то есть $BK=KC$.

Так как $BM$ является медианой треугольника $ABC$, то $BM^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$. Также мы знаем, что $BL=LC=\frac{AC}{2}$ и $BK=KC$, поэтому $BC=2BK$. Тогда можно выразить $AB$ и $AC$ через $BK$: \begin{align*} AB^2 &= BC^2 + AC^2 = 4BK^2 + 4BK^2 = 8BK^2 \ AC^2 &= BC^2 + AB^2 = 4BK^2 + 8BK^2 = 12BK^2 \end{align*}

Подставляя это в выражение для $BM^2$, получаем: \begin{align*} BM^2 &= \frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4} \ &= \frac{2\cdot8BK^2+2\cdot12BK^2-8BK^2}{4} \ &= 10BK^2 \end{align*}

Также мы знаем, что $CO=9$ и $OK=5$. Так как $BK=KC$, то $BO=BC/2=BK$. Тогда можно использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $BOM$: \begin{align*} BM^2 &= BO^2 + OM^2 \ 10BK^2 &= BK^2 + OM^2 \ OM^2 &= 9BK^2 \end{align*}

Теперь мы можем выразить площадь треугольника $ABC$ через $BK$: \begin{align*} S_{ABC} &= \frac{1}{2}AC\cdot BC \ &= \frac{1}{2}\sqrt{12BK^2}\cdot2BK \ &= 2BK^2\sqrt{3} \end{align*}

Осталось найти $BK$. Рассмотрим треугольник $OBK$. По теореме Пифагора: \begin{align*} BK^2 &= BO^2 - OK^2 \ &