Question

две окружности касаются друг друга в точке К . Продолжение хорды АВ первой окружности касается второй окружности в точке М . Найдите АК , если ВК = 12 , АМ = 24 , ВМ = 18 . 

Answer 1

Как всегда в таких случаях, все решает подобие, которое вылезает в самом неожиданном месте.

СМ ЧЕРТЕЖ.

Прямая КN перпендикулярна отрезку, соединяющему центры. Само собой, это общая касательная в точке К.

В данном случае подобны треугольники KBN и AKN - у них есть общий угол KNA, а углы KAB и BKN измеряются половиной дуги КВ, то есть тоже равны.

АК/KB = KN/NB = AN/KN;

Кроме того, KN = NM по свойству касательной. Вобщем то уже все решено, осталось вычислить.

Обозначим для краткости записи АК = а; KN = MN = x; BN = y;

Учтем, что КВ = 12; MB = x + y = 18; AN = 24 - 18 + y = 6 + y;

Получаем

a/12 = x/y = (6 + y)/x; x + y = 18;

подставляем y = 18 - x во второе равенство, получаем уравнение для х, решив, подставляем в первое, находим а :)

x/(18 - x) = (24 - x)/x; это даже не квадратное уравнение, получаем

24*18 = (24 + 18)*x; x = 72/7;

a/12 = (24 - x)/x = (24/x - 1) = 7/3 - 1 = 4/3;

a = 16; 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства касательных и хорд, проходящих через точки касания.

Пусть радиус первой окружности равен r1, а радиус второй окружности равен r2.

Из условия задачи известно, что ВК = 12, АМ = 24 и ВМ = 18.

Мы можем заметить, что АВ и КМ - это хорды, проходящие через точку К. Так как эти хорды пересекаются в точке М, то применим свойство хорд, гласящее, что произведение отрезков, образованных хордами, равно: АК * КМ = ВК * МВ.

Подставим известные значения: АК * КМ = 12 * 18.

Также известно, что АМ = 24. Используя свойство касательной, мы знаем, что отрезок АМ является касательной к окружности в точке М. В этом случае отрезок АК является радиусом окружности, проведенным к точке касания. Таким образом, АК = r1.

Теперь мы можем решить уравнение: r1 * КМ = 12 * 18.

Из условия задачи неизвестны значения r1 и КМ, поэтому мы не можем точно найти АК. Однако, если нам даны значения r2 и КМ, мы можем использовать это уравнение, чтобы найти АК.

Обратите внимание, что в решении была допущена ошибка в терминологии. В задаче указано, что АВ - хорда первой окружности, однако в последующих выкладках используется АК, как будто это радиус. Если АВ действительно является хордой, то решение будет другим.