Question

18. Докажите, что если в четырёх­угольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Answer 1

Если в четырех угольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Доказательство.

1) Пусть в четырех угольник ABCD вписана окружность, которая касаетя его сторон в точках F, O, T и E.

Докажем, что AB + CD = BC + AD.

2) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AF = AE = a, BF = BO = b, CO = CT = m, DT = DE = c.

3) Таким образом, AB + CD = ( AF + FB ) + ( CT + DT ) = a + b + c + m и BC + AD = ( BO + OC ) + ( AE + ED ) = a + b + c + m. Отсюда следует, что AB + CD = BC + AD.

 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся следующими шагами:

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность с центром O. Обозначим стороны четырехугольника как a, b, c и d, где a - сторона AB, b - сторона BC, c - сторона CD и d - сторона DA.

1. Пусть точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD обозначается как E. Так как диагонали пересекаются в точке, то AE и CE являются диаметрами вписанной окружности.

2. Следовательно, угол BAE и угол BCE являются прямыми углами, так как они соответствуют диаметрам окружности.

3. Из свойств прямых углов следует, что треугольники AEO и CEO являются прямоугольными.

4. Так как треугольники AEO и CEO являются прямоугольными, то по теореме Пифагора в этих треугольниках можно записать следующие соотношения:

   • Для треугольника AEO: (AE)² = (AO)² + (OE)²
   • Для треугольника CEO: (CE)² = (CO)² + (OE)²

5. Заметим, что (AE)² и (CE)² равны между собой, так как они соответствуют радиусу окружности, который одинаков для обоих диаметров.

   (AE)² = (CE)²

   (AO)² + (OE)² = (CO)² + (OE)²

   (AO)² = (CO)²

6. Из последнего равенства следует, что AO = CO, что означает, что стороны AB и CD равны между собой.

   AB = CD

7. Аналогичным образом, можно доказать, что стороны BC и AD равны между собой.

   BC = AD

8. Таким образом, мы доказали, что противолежащие стороны четырехугольника ABCD равны между собой.

   AB + CD = BC + AD

   Следовательно, если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.