Question

3. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите отношение объемов конуса и шара. Помогите пожалуйста!!!

Answer 1

Осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом α=60° между боковой стороной и основанием,⇒ осевое сечение конуса равносторонний треугольник.
радиус основания конуса Rк=а/2
высота конуса H=a√3/2 
Vконуса=(1/3)*Sосн*H
Sосн=πR²к. Sосн=π*(a/2)², Sосн=a²π/4
Vк=(1/3)*(a²π/4)*(a√3/2)=a³π√3/24

диаметр шара = высоте конуса, ⇒ радиус шара =а√3/4
Vш=(4/3)*πR³ш, V=(4/3)*π*(a√3/4)³=a³π√3/16
Vк/Vш=(а³π√3/24):(a³π/48)=2√3

Vк/Vш=2/3

Answer 2

Чтобы найти отношение объемов конуса и шара, нужно выразить объемы этих фигур через их характеристики.

Объем шара можно вычислить по формуле: V_шара = (4/3) * π * r^3, где r - радиус шара.

Диаметр шара равен высоте конуса, поэтому радиус шара будет половиной высоты конуса, то есть r = h/2.

Объем конуса можно вычислить по формуле: V_конуса = (1/3) * π * r^2 * h, где r - радиус конуса, h - высота конуса.

Теперь подставим выражение для радиуса шара в формулу для объема шара: V_шара = (4/3) * π * (h/2)^3 = (1/6) * π * h^3.

Отношение объемов конуса и шара будет: V_конуса / V_шара = [(1/3) * π * r^2 * h] / [(1/6) * π * h^3] = 2 * r^2 / h^2.

Так как диаметр шара равен высоте конуса, то можно заменить r на h/2: V_конуса / V_шара = 2 * (h/2)^2 / h^2 = 2 * (1/4) = 1/2.

Итак, отношение объемов конуса и шара равно 1/2.