Question

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна а и образует с плоскостью боковой грани угол альфа. Найдите:   1) сторону основания призмы, 2) угол между диагональю призмы и плоскостью основания, 3) площадь боковой поверхности призмы,4) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.

Answer 1

Решение в приложении ниже

Answer 2

Для решения задачи введём следующие обозначения:

• a - диагональ призмы (расстояние между противоположными вершинами основания);
• α - угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.

1. Сторона основания призмы: В правильной четырёхугольной призме все стороны основания равны между собой. Обозначим сторону основания через s. Так как призма правильная, каждая из диагоналей основания равна стороне основания. Используя теорему косинусов для треугольника, образованного стороной основания, диагональю призмы и половиной стороны основания, получаем: s² = (a/2)² + (a/2)² - 2 * (a/2) * (a/2) * cos(α) s² = 2 * (a/2)² * (1 - cos(α)) s = a * sqrt(1 - cos(α))

2. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания: Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен дополнению угла α до 90°: β = 90° - α

3. Площадь боковой поверхности призмы: Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания, умноженному на высоту. Так как призма правильная, периметр основания равен 4 * сторона основания (s). Пусть h - высота призмы. Тогда площадь боковой поверхности равна: Sбок = 4s * h = 4a * sqrt(1 - cos(α)) * h

4. Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы: Площадь сечения будет представлять собой прямоугольник со сторонами, равными диагонали основания (a) и высоте призмы (h): Sсеч = a * h

Теперь у нас есть формулы для вычисления всех величин, которые вам интересны в данной задаче.