Question

Из внешней точки к окружности проведены две касательные и в фигуру ,ограниченную дугой окружности и касательными,вписана вторая окружность.Расстояния от данной точки до центров окружностей равны 6 и 18.Найдите радиусы окружностей

Answer 1

Пусть внешняя точка будет А,
точки касания с одной из касательных большей окружности - М, меньшей - Н, центр большей окружности - В, меньшей - С, точка касания окружностей - К, радиус большей окружности R, меньшей- r. 
По условию АС=6, АВ=18 
Отсюда R+r=18-6=12 
R=12-r 
Проведем к точкам касания каждой окружности радиусы.
 Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной .     Треугольники АМВ и АНС подобны - прямоугольные с общим углом при А. 
Из их подобия следует отношение : 
АС:АВ=СН:ВМ 
6:18=r:(12-r) 
6*12-6r=18r, откуда r=3 ⇒
R=12-3=9

Answer 2

Пусть точка внешняя точка, из которой проведены касательные, называется P. Пусть O1 и O2 - центры соответственно внешней и вписанной окружностей, а r1 и r2 - их радиусы.

В данном случае, так как P лежит на линии, проходящей через центры окружностей O1 и O2, а также на перпендикулярной касательной к окружности, легко заметить, что треугольник O1PO2 является прямоугольным треугольником.

Также, согласно свойствам касательной, мы можем утверждать, что треугольник O1PO2 является подобным треугольнику O2PR, где R - точка касания внешней окружности и касательной.

Теперь мы можем использовать данные, чтобы решить задачу. Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника O1PO2:

OP^2 = O1P^2 + O2P^2

6^2 = (r1 + r2)^2 + (r2 - r1)^2 36 = r1^2 + 2r1r2 + r2^2 + r2^2 - 2r1r2 + r1^2 36 = 2r1^2 + 2r2^2 18 = r1^2 + r2^2

Также, согласно подобию треугольников O1PO2 и O2PR, мы можем установить следующее отношение:

r1 / r2 = OP / PR = 6 / (18 - r2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 18 = r1^2 + r2^2
2. r1 / r2 = 6 / (18 - r2)

Решив эту систему уравнений, мы сможем найти значения r1 и r2.