Question

Свойство медиан треугольника (+Доказательство) 8 класс

Answer 1

Ответ:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

1) Докажем, что две медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

В ΔАВС АМ и ВК - медианы. О - точка пересечения медиан.

Проведем КЕ ║ АМ. Так как АК = КС, то и МЕ = ЕС по теореме Фалеса.

Т.е. Е - середина отрезка МС.

Отметим Р - середину отрезка ВМ и проведем РТ ║ АМ, тогда ВТ = ТО по теореме Фалеса.

Итак, ВР = РМ = МЕ,  РТ ║ МО ║ ЕК, значит ВТ = ТО = ОК по теореме Фалеса.

ВО : ОК = 2 : 1.

Аналогично можно  доказать, что АО : ОМ = 2 : 1.

2) Докажем, что все три медианы пересекаются в одной точке.

Так как две медианы точкой пересечения делятся 2 : 1, то медиана проведенная из вершины С, должна разделить медиану ВК в отношении 2 : 1, т.е. должна пройти через точку О. Следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке.

Answer 2

Свойство медиан треугольника заключается в том, что все три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центром тяжести треугольника. Центр тяжести обозначается буквой G.

Доказательство этого свойства можно провести с использованием векторных методов.

Пусть A, B и C - вершины треугольника, а M1, M2 и M3 - середины соответствующих сторон треугольника.

1. Покажем, что точка G лежит на каждой из медиан треугольника. Рассмотрим медиану, проходящую через вершину A и середину стороны BC (то есть медиану M1M2).

Пусть точка D - середина стороны AC. Вектор AD является половиной вектора AM1, а вектор MD является половиной вектора M1C. Таким образом, вектор MD = 1/2 * AM1.

Аналогично можно показать, что векторы ME и MF (где E и F - середины сторон AB и BC соответственно) также являются половинами векторов AM2 и AM3 соответственно.

2. Докажем, что все три медианы пересекаются в одной точке G. Для этого достаточно показать, что точка G является точкой пересечения двух медиан. Для этого рассмотрим медиану, проходящую через вершину A и середину стороны BC (медиану M1M2) и медиану, проходящую через вершину B и середину стороны AC (медиану M2M3).

Мы уже доказали, что вектор MD = 1/2 * AM1, и аналогично, вектор MG = 1/2 * BM2. Теперь найдем вектор DG и вектор EG:

Вектор DG = 1/2 * AB (поскольку точка D - середина стороны AC, и вектор AD является половиной вектора AB). Вектор EG = 1/2 * BC (поскольку точка E - середина стороны AB, и вектор AE является половиной вектора BC).

Таким образом, вектор DG = 1/2 * AB и вектор EG = 1/2 * BC.

Теперь найдем векторы AG и BG:

Вектор AG = AD + DG = 1/2 * AM1 + 1/2 * AB = 1/2 * (AM1 + AB). Вектор BG = BE + EG =