Question

Помогите срочно, пожалуйста. Из точки М проведены к окружности с центром в точке О касательные МА и MB. Прямая l касается окружности в точке С и пересекает МА и MB соответственно в точках D и Е. Доказать, что: а) периметр треугольника MDE не зависит от выбора точки С; б) угол DOE не зависит от выбора точки С.

Answer 1

а) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

DA=DC, EB=EC

P(MDE)= MD+DC+ME+EC =MD+DA+ME+EB =MA+MB

Кроме того, MA=MB => P(MDE)/2 =MA=MB  

б) Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным. Сумма противоположных углов четырехугольника AOBM равна 180, ∠AOB+∠M=180. По свойству отрезков касательных из одной точки* OD - биссектриса ∠AOC, OE - биссектриса ∠BOC.

∠DOE= ∠AOC/2 +∠BOC/2 =∠AOB/2 =(180-∠M)/2

----------------------------

*△DOA=△DOC по катету (радиус) и общей гипотенузе, их соответствующие элементы равны. Аналогично △EOB=△EOC.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства касательных и касательных углов.

а) Для начала, заметим, что треугольник MDE является прямоугольным треугольником, так как отрезки MA и MB являются касательными к окружности и, следовательно, перпендикулярны радиусам, проведенным в точках A и B.

Также, по свойству касательной, угол MCA является прямым углом (угол между касательной и радиусом, проведенным в точке касания).

Теперь рассмотрим треугольник MAC. У него угол MCA прямой, следовательно, он является прямоугольным треугольником. Кроме того, угол MCA и угол MCD равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых MC и AD, пересекаемых прямой l.

Таким образом, треугольники MDE и MCD являются прямоугольными треугольниками с общим углом MCD. Отсюда следует, что у них равны катеты MD и MC.

Теперь рассмотрим треугольник MCA. У него прямой угол MCA и равные катеты MC и MA (так как это радиусы одной и той же окружности). Следовательно, треугольник MCA является прямоугольным и равнобедренным.

Из равнобедренности треугольника MCA следует, что угол MAC равен углу MCA.

Теперь рассмотрим треугольник MEB. У него также есть прямой угол MEB и равные катеты ME и MB. Отсюда следует, что треугольник MEB также является прямоугольным и равнобедренным.

Из равнобедренности треугольника MEB следует, что угол MBE равен углу MEB.

Теперь мы знаем, что у треугольников MCD, MCA, и MEB равны соответственные углы MCD, MAC и MBE. Следовательно, эти треугольники подобны друг другу.

Так как у подобных треугольников соотношение сторон одинаковое, то отношение MD к MC равно отношению MC к MA, и отношение ME к MC равно отношению