Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ! Дано: треуг. АВС, А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1) Найти: угол А Тема векторы в пространстве. Нужно решить не чертя графики, просто по формуле. Заранее спасибо!

Answer 1

вектор АВ (-3; 0; -4)

вектор АС (4; 0; -3)

$cosa \: = \frac{ab}{ |a| |b| } \\ = \frac{ - 3 \times 4 + 0 \times 0 + ( - 4) \times 3}{ \sqrt{ { (- 3)^{2} + 0 }^{2} \times } ( - {4}^{2}) \times \sqrt{( { - 3)}^{2} + {0}^{2} + ( - 4)^{2} } } = \\ \frac{0}{5} = 0$

$\cos( \alpha ) = 0 \\ = > a = \frac{\pi}{2}$

Answer 2

Вспомним о скалярном произведении.

везде надо ставить над векторами стрелки.

1.найдем координаты векторов АВ и АС, от координат конца отнимем координаты начала. получим. АВ(-3;0;-4);  АС(4;0;-3)

Найдем скалярное произведение векторов, перемножив соответствующие координаты и сложив произведения.

-3*4+0+(-4)*(-3)=-12+12=0. Раз произведение равно нулю, то угол между векторами , угол А прямой, т.е. равен 90°.

Ответ 90°

Answer 3

Для решения данной задачи нам понадобятся векторы, соединяющие точки треугольника АВ и АС. Затем мы можем использовать скалярное произведение векторов для нахождения угла между ними.

1. Найдем вектор AB, соединяющий точки A и B: AB = B - A = (-4 - (-1), -2 - (-2), 0 - 4) = (-3, 0, -4).

2. Найдем вектор AC, соединяющий точки A и C: AC = C - A = (3 - (-1), -2 - (-2), 1 - 4) = (4, 0, -3).

3. Найдем скалярное произведение векторов AB и AC: AB · AC = (ABx * ACx) + (ABy * ACy) + (ABz * ACz), = (-3 * 4) + (0 * 0) + (-4 * -3), = -12 + 0 + 12, = 0.

4. Найдем длины векторов AB и AC: |AB| = √(ABx^2 + ABy^2 + ABz^2) = √((-3)^2 + 0^2 + (-4)^2) = √(9 + 0 + 16) = √25 = 5, |AC| = √(ACx^2 + ACy^2 + ACz^2) = √(4^2 + 0^2 + (-3)^2) = √(16 + 0 + 9) = √25 = 5.

5. Используем формулу для нахождения угла между векторами через скалярное произведение: cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|), θ = arccos((AB · AC) / (|AB| * |AC|)).

   Подставляем значения: θ = arccos(0 / (5 * 5)) = arccos(0 / 25) = arccos(0) = 90°.

Таким образом, угол А между векторами AB и AC равен 90°.