Question

Через точку А, не лежащую на окружности, к этой окружности проведите касательные АВ и АС. Точки В и С - точки касания. Докажите, что АВ=АС

Answer 1

1.рисуешь окружность. 2. Точка О - середина окр. 3. ставишь точку А вне окружности. 4. Проводишь из нее две касательные. 5. проводишь луч АО. 6. Соединяешь отречками ОВ и ОС. 7. (должно получится что-то типа ракеты ну или "четырехугольник") хаха. 
Дано:
окр.(О;r)
АВ и АС - отрезки касательных.
Док-ть:
АВ=АС
Док-во:
рассмотрим труег.ОВА и треуг.ОСА:
1.ОА-общая
2.ОВ=ОС(радиус)
отсюда получаем,что  труег.ОВА и треуг.ОСА равны по катету и гипотенузе,следовательно АВ=АС. Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства, что АВ = АС, можно воспользоваться свойством касательных, которое утверждает, что касательные, проведенные к окружности из одной и той же точки, имеют одинаковую длину.

Пусть точка А не лежит на окружности, а В и С - точки касания касательных АВ и АС соответственно.

Для начала, рассмотрим треугольник АВС:

1. Соединим точки А и O, где O - центр окружности.
2. Так как отрезок ОВ является радиусом окружности, а отрезок АВ - касательной, то он перпендикулярен касательной АВ в точке В.
3. Аналогично, отрезок ОС является радиусом окружности, а отрезок АС - касательной, и он перпендикулярен касательной АС в точке С.
4. Таким образом, у нас получается два прямоугольных треугольника АОВ и АОС, в которых гипотенузы равны радиусу окружности, а катеты - касательным АВ и АС соответственно.

Теперь рассмотрим эти два треугольника:

5. По теореме Пифагора в треугольнике АОВ получаем: АВ^2 = АО^2 + ОВ^2.

6. Аналогично, в треугольнике АОС получаем: АС^2 = АО^2 + ОС^2.

7. Так как ОВ = ОС (они равны радиусу окружности), то ОВ^2 = ОС^2.

8. Подставим эту равенство в уравнения из пунктов 5 и 6: АВ^2 = АО^2 + ОВ^2 и АС^2 = АО^2 + ОС^2.

9. Теперь у нас получилось: АВ^2 = АО^2 + ОВ^2 = АО^2 + ОС^2 = АС^2.

10. Из последнего уравнения следует, что АВ = АС.

Таким образом, мы доказали, что касательные АВ и АС, проведенные через точку А, не лежащую на окружности, имеют одинаковую длину.