Question

З точки D опущено перпендикуляр DК на площину α, точки Е і F належать площині α, (DЕК = 45о, (DFК = 30о, (ЕDF = 135о, FD = 2√3 см. Знайдіть відстань між точками Е і F.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике DКF катет DK лежит напротив угла в 30°, значит DK=FD/2=2√3/2=√3 см.
В прямоугольном тр-ке DKE острый угол равен 45°, значит он равнобедренный. DK=EK ⇒ DE=DK·√2=√3·√2=√6 см.
В тр-ке DEF по теореме косинусов:
EF²=DE²+FD²-2·DE·FD·cos135=6+12-2·√6·2√3·(-√2/2)=18+2√36=30,
EF=√30 см - это ответ.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі використаємо трикутник DEF.

Ми знаємо, що кут DЕК = 45°, кут DFК = 30° та кут ЕDF = 135°. З цього можемо зрозуміти, що кут ФЕК (уявімо його як зовнішній кут трикутника DEF) дорівнює 360° - (45° + 30° + 135°) = 150°.

Також нам дано, що FD = 2√3 см.

Тепер застосуємо теорему синусів до трикутника DEF:

sin(ФЕК) / FD = sin(DЕК) / DE

Оскільки ми шукаємо відстань між точками E і F (тобто DE), змінимо формулу:

DE = FD * (sin(DЕК) / sin(ФЕК))

Підставимо відомі значення:

DE = 2√3 * (sin(45°) / sin(150°))

Знайдемо значення синусів:

sin(45°) = √2 / 2 sin(150°) = 1/2

Підставимо їх у формулу:

DE = 2√3 * (√2 / 2 / (1/2)) = 2√3 * (√2 / 2 * 2/1) = 2√3 * (√2 / 1) = 2√6

Таким чином, відстань між точками Е і F дорівнює 2√6 см.