Question

Обчисліть площу паралелограма побудованого на векторах (0; 1; 1) (√3; 2; -1)

Answer 1

Даны векторы {b} (0; 1; 1)  и {d} (√3; 2; -1).

S =  (1/2)*|a × b|

Найдем векторное произведение векторов:

c = a × b

a × b =  

i j k

ax ay az

bx by bz

 =  

i j k

0 1 1

√3 2 -1

 =  

 = i (1·(-1) - 1·2) - j (0·(-1) - 1·√3) + k (0·2 - 1·√3) =  

 = i (-1 - 2) - j (0 - √3) + k (0 - √3) = {-3; √3; -√3}

Найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-3)² + (√3)² + (-√3)²) = √9 + 3 + 3) = √15.

Найдем площадь треугольника:

S =  (1/2)*√15 ≈ 1.936492.

Answer 2

Щоб обчислити площу паралелограма, побудованого на двох векторах, можна скористатись векторним добутком цих векторів. Векторний добуток двох векторів дорівнює вектору, площа паралелограма якого є модулем цього вектора.

Дані вектори: v₁ = (0, 1, 1) та v₂ = (√3, 2, -1)

Векторний добуток двох векторів обчислюється наступним чином:

v₁ × v₂ = (v₁₂, v₁₃, v₁₄), де v₁₂ = v₁y × v₂z - v₁z × v₂y, v₁₃ = v₁z × v₂x - v₁x × v₂z, v₁₄ = v₁x × v₂y - v₁y × v₂x.

Підставимо значення векторів:

v₁₂ = 1 × (-1) - 1 × 2 = -1 - 2 = -3, v₁₃ = 1 × (√3) - 0 × (-1) = √3, v₁₄ = 0 × 2 - 1 × (√3) = -√3.

Отже, векторний добуток векторів v₁ та v₂ дорівнює v₁ × v₂ = (-3, √3, -√3).

Площа паралелограма дорівнює модулю вектора v₁ × v₂:

|v₁ × v₂| = |(-3, √3, -√3)| = √((-3)² + (√3)² + (-√3)²) = √(9 + 3 + 3) = √15.

Таким чином, площа паралелограма, побудованого на векторах (0, 1, 1) та (√3, 2, -1), дорівнює √15.