Question

Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума: а) y = -x²- 8x + 2 б) y = 15 + 48x - x³ Пожалуйста, решите и подскажите алгоритм решения на будущее

Answer 1

Для нахождения критических точек функций и определения, являются ли они точками максимума или минимума, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции. 2. Найдите значения x, при которых производная равна нулю или не существует. 3. Определите знак второй производной в этих точках.

Давайте применим этот метод к вашим функциям.

а) \(y = -x^2 - 8x + 2\)

1. Найдем производную \(y'\): \[y' = -2x - 8\]

2. Найдем значения x, при которых \(y' = 0\): \[-2x - 8 = 0\] \[-2x = 8\] \[x = -4\]

3. Определим знак второй производной: \[y'' = -2\] Так как \(y''\) постоянна и отрицательна, то точка \(x = -4\) является точкой максимума.

б) \(y = 15 + 48x - x^3\)

1. Найдем производную \(y'\): \[y' = 48 - 3x^2\]

2. Найдем значения x, при которых \(y' = 0\): \[48 - 3x^2 = 0\] \[3x^2 = 48\] \[x^2 = 16\] \[x = \pm 4\]

3. Определим знак второй производной: \[y'' = -6x\] Подставим найденные значения x: \[y''(-4) = 24 > 0\] (точка минимума) \[y''(4) = -24 < 0\] (точка максимума)

Итак, для функции (а) точка \(x = -4\) является точкой максимума, а для функции (б) точки \(x = -4\) и \(x = 4\) являются соответственно точками максимума и минимума.