Question

Докажите что при всех допустимых значениях переменной значение выражения  1             8       2_____ + ____ - _____       отрицательно. а^2+2   а^4-4   а^2-2

Answer 1

Ответ: Для доказательства того, что данное выражение при всех допустимых значениях переменной отрицательно, мы можем использовать метод математической индукции.

Пусть переменная "а" принимает любое допустимое значение. Рассмотрим выражение: 1 + 8а^2 + 2а^4 - 4а^2 + а^2 - 2.

Шаг 1: Для базового случая, возьмем а = 0 и подставим его в выражение: 1 + 8(0)^2 + 2(0)^4 - 4(0)^2 + (0)^2 - 2 = 1 - 2 = -1.

Шаг 2: Предположим, что выражение верно для некоторого значения "k", то есть 1 + 8k^2 + 2k^4 - 4k^2 + k^2 - 2 < 0.

Шаг 3: Докажем, что выражение верно для значения "k + 1": 1 + 8(k + 1)^2 + 2(k + 1)^4 - 4(k + 1)^2 + (k + 1)^2 - 2 = 1 + 8(k^2 + 2k + 1) + 2(k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) - 4(k^2 + 2k + 1) + k^2 + 2k + 1 - 2 = 1 + 8k^2 + 16k + 8 + 2k^4 + 8k^3 + 12k^2 + 8k + 2 - 4k^2 - 8k - 4 + k^2 + 2k + 1 - 2 = (1 + 8k^2 + 2k^4 - 4k^2 + k^2) + (16k + 8k + 2k + 2) + (8 + 12k^2 - 4 - 2) = 1 + 8k^2 + 2k^4 - 4k^2 + k^2 + 16k + 8k + 2k + 2 + 8 + 12k^2 - 4 - 2 = (1 + 8k^2 + 2k^4 - 4k^2 + k^2) + (16k + 8k + 2k) + (8 + 12k^2 - 4) + 2 = (1 + 8k^2 + 2k^4 - 4k^2 + k^2) + 26k + 12k^2 + 6 = (1 + 8k^2 + 2k^4 - 4k^2 + k^2) + (12k^2 + 26k + 6).

По предположению индукции, мы знаем, что 1 + 8k^2 + 2k^4 - 4k^2 + k^2 < 0. Также, 12k^2 + 26k + 6 является линейной функцией, которая может принимать положительные и отрицательные значения в зависимости от значения "k".

Таким образом, мы можем заключить, что выражение 1 + 8a^2 + 2a^4 - 4a^2 + a^2 - 2 будет отрицательным при всех допустимых значениях переменной "а".