Question

Помогите пожалуйста: Дана функция: у=4х^2-6х. Найти ее критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума.

Answer 1

Чтобы найти критические точки функции у = 4х^2 - 6х, нужно найти производную этой функции и приравнять её к нулю.

Для этого возьмем производную функции у по переменной х: у' = 8х - 6.

Равенство у' = 0 находит критические точки функции. Подставим у' = 0 и решим уравнение: 8х - 6 = 0 8х = 6 х = 6/8 х = 3/4.

Таким образом, критическая точка функции равна х = 3/4.

Чтобы найти промежутки монотонности функции, нужно проанализировать знак производной на интервалах:

1. Интервал (-∞, 3/4): Возьмём любое число менее 3/4: х = 0 Подставляем значение х в производную: у' = 8х - 6 = 8*0 - 6 = -6 Получаем, что производная отрицательна на этом интервале. Следовательно, функция у = 4х^2 - 6х убывает на интервале (-∞, 3/4).

2. Интервал (3/4, +∞): Возьмём любое число большее 3/4: х = 1 Подставляем значение х в производную: у' = 8х - 6 = 8*1 - 6 = 2 Получаем, что производная положительна на этом интервале. Следовательно, функция y = 4х^2 - 6х возрастает на интервале (3/4, +∞).

Таким образом, промежутки монотонности функции y = 4х^2 - 6х: - Функция убывает на интервале (-∞, 3/4). - Функция возрастает на интервале (3/4, +∞).

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно проанализировать вторую производную на критической точке и проверить, является ли она положительной или отрицательной.

Возьмём вторую производную функции у = 4х^2 - 6х: у'' = 8.

Получаем, что вторая производная постоянна и положительна (у'' > 0) для всех значений х.

Это говорит нам о том, что критическая точка x = 3/4 является точкой минимума функции.

Итак, критическая точка функции: х = 3/4. Промежутки монотонности: функция убывает на интервале (-∞, 3/4), возрастает на интервале (3/4, +∞). Точки экстремума: функция имеет точку минимума при х = 3/4.