Question

Решите систему x²+y²=20 xy=8

Answer 1

Для решения данной системы уравнений, мы можем воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных. Давайте рассмотрим оба метода.

Метод подстановки:

1. В первом уравнении имеем: x² + y² = 20. Решим это уравнение относительно одной переменной. Можем выразить x через y или y через x. Для примера, выразим x через y. x² + y² = 20 x² = 20 - y² x = √(20 - y²)

2. Подставим это выражение для x во второе уравнение: xy = 8. Получим уравнение только с одной переменной: (√(20 - y²))y = 8

Теперь решим это уравнение: √(20 - y²) * y = 8 (20 - y²)y = 64 20y - y³ = 64 y³ - 20y + 64 = 0

Мы получили кубическое уравнение относительно y. Решение этого уравнения может быть достаточно сложным.

Метод исключения переменных:

1. Перепишем первое уравнение в виде x² + y² = 20.

2. Умножим второе уравнение на 2: 2xy = 16.

3. Теперь вычтем первое уравнение из умноженного второго уравнения: 2xy - (x² + y²) = 16 - 20 2xy - x² - y² = -4

4. Дальше мы можем преобразовать это уравнение: x² + 2xy + y² = 4 (x + y)² = 4

5. Извлечем квадратный корень из обеих сторон: x + y = ±2

Теперь у нас есть два уравнения: x + y = 2 и x + y = -2. Решим каждое из них относительно одной переменной.

Для x + y = 2: x = 2 - y

Для x + y = -2: x = -2 - y

6. Подставим значения x в первое уравнение: (2 - y)² + y² = 20 4 - 4y + y² + y² = 20 2y² - 4y - 16 = 0

Решим это квадратное уравнение: y² - 2y - 8 = 0 (y - 4)(y + 2) = 0

Получаем два значения для y: y = 4 и y = -2.

7. Подставим найденные значения y в одно из уравнений для x: Для y = 4: x = 2 - 4 = -2

Для y = -2: x = -2 - (-2) = 0

8. Итак, мы нашли два решения для системы уравнений: (x, y) = (-2, 4) и (0, -2).

Таким образом, решение системы уравнений x² + y² = 20 и xy = 8 состоит из двух точек: (-2, 4) и (0, -2).