Question

Вычислить cos2a, если 2tg²α + 5tgα + 2 = 0 и

Answer 1

cos2a = cos^2(a) - sin^2(a)

Нам дано уравнение 2tg²α + 5tgα + 2 = 0. Представим его в виде квадратного уравнения относительно tgα:

2(tgα)^2 + 5tgα + 2 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня.

tgα = (-5 + √9)/(2(2)) = (-5 + 3)/4 = -1/2 tgα = (-5 - √9)/(2(2)) = (-5 - 3)/4 = -2

Таким образом, уравнение имеет два корня tgα = -1/2 и tgα = -2.

Теперь найдем sinα и cosα:

sinα = tgα * cosα cosα = 1/√(1 + (tgα)^2)

Для tgα = -1/2: sinα = (-1/2) * (1/√(1 + (-1/2)^2)) = (-1/2) * (1/√(1 + 1/4)) = (-1/2) * (1/√(5/4)) = (-1/2) * (2/√5) = -1/√5 = -√5/5 cosα = 1/√(1 + (-1/2)^2) = 1/√(1 + 1/4) = 1/√(5/4) = 1/(√5/2) = 2/√5 = 2√5/5

Для tgα = -2: sinα = (-2) * (1/√(1 + (-2)^2)) = (-2) * (1/√(1 + 4)) = (-2) * (1/√5) = -2/√5 = -2√5/5 cosα = 1/√(1 + (-2)^2) = 1/√(1 + 4) = 1/√5 = √5/5

Теперь можем вычислить cos2α:

cos2α = cos^2α - sin^2α = (2√5/5)^2 - (-2√5/5)^2 = (4/5)(5/5) - (4/5)(5/5) = 20/25 - 20/25 = 0

Таким образом, получаем, что cos2α = 0.