Question

Найти производные: f (x) = (2x-5)^5 + 5^(2x-1) - cos x/3

Answer 1

Конечно, я могу помочь вам найти производные данной функции. Давайте найдем производные каждого из слагаемых по отдельности.

1. Производная первого слагаемого: \(f_1(x) = (2x - 5)^5\)

Используем цепное правило: \[f_1'(x) = 5(2x - 5)^4 \cdot 2\]

Упростим: \[f_1'(x) = 10(2x - 5)^4\]

2. Производная второго слагаемого: \(f_2(x) = 5^{2x - 1}\)

Возьмем логарифм от обеих сторон, чтобы упростить выражение: \[\ln(f_2(x)) = (2x - 1) \cdot \ln(5)\]

Теперь найдем производную: \[f_2'(x) = \frac{d}{dx} \ln(f_2(x)) = \ln(5) \cdot 2\]

Поскольку \(\ln(5)\) - константа, производная ее множителя равна нулю. Таким образом, \[f_2'(x) = 2 \cdot \ln(5)\]

3. Производная третьего слагаемого: \(f_3(x) = -\cos\left(\frac{x}{3}\right)\)

Используем цепное правило: \[f_3'(x) = \frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right)\]

Теперь сложим производные всех слагаемых, чтобы получить производную исходной функции: \[f'(x) = f_1'(x) + f_2'(x) + f_3'(x) = 10(2x - 5)^4 + 2 \cdot \ln(5) + \frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right)\]

Таким образом, производная функции \(f(x)\) равна сумме производных её слагаемых.