Question

Найдите наименьшее целое решение неравенств: 1) x^2-2x+6/x+1>x 2) 1/x-2+1/x-1>1/x

Answer 1

Чтобы найти наименьшее целое решение данного неравенства, нужно рассмотреть возможные значения переменной x.

Рассмотрим первое неравенство: x^2-2x+6/x+1 > x+2.

Для начала, проведем анализ области допустимых значений переменной x. Заметим, что x не может быть равным -1, так как в этом случае мы делаем деление на 0 в левой части неравенства. Исключаем x=-1 из области допустимых значений.

Теперь рассмотрим два случая: 1) x+1 > 0. В этом случае можно умножить обе части неравенства на (x+1), без изменения направления неравенства: x^2-2x+6 > (x+2)(x+1). Раскрыв скобки, получим: x^2-2x+6 > x^2+3x+2. Сократим x^2 на обоих частях неравенства: -2x+6 > 3x+2. Перенесем все слагаемые, содержащие икс, в правую часть неравенства: 6-2 > 3x+2x. Сократим константы: 4 > 5x. Разделим обе части неравенства на 5: 4/5 > x. Наименьшее целое решение этого неравенства -1 (так как x должно быть больше -1, но не может быть -1). Итак, первое неравенство выполнено для всех значений x, удовлетворяющих условию x > -1.

2) x+1 < 0. В этом случае необходимо изменить направление неравенства. Умножим обе части неравенства на (x+1) и поменяем знак: x^2-2x+6 < (x+2)(x+1). Раскрываем скобки, получаем: x^2-2x+6 < x^2+3x+2. x^2 сокращается на обеих частях неравенства: -2x+6 < 3x+2. Переносим слагаемые, содержащие икс, в левую часть неравенства: -2x-3x < 2-6. Сокращаем константы: -5x < -4. Разделим обе части неравенства на -5. Обратим внимание на изменение направления неравенства при делении на отрицательное число: x > 4/5. Наименьшее целое решение этого неравенства - это 1 (так как x должно быть больше 4/5, но не может быть меньше 4/5). Итак, второе неравенство выполнено для всех значений x, удовлетворяющих условию x > 4/5.

Комбинируя результаты двух случаев, получаем, что оба неравенства выполнены для всех значений x, удовлетворяющих условию x > -1. Наименьшее целое решение для этой системы неравенств -1.