Question

Доказать,что (3a+2)²-6a(a+2)>0

Answer 1

Давайте решим неравенство \( (3a + 2)^2 - 6a(a + 2) > 0 \) подробно.

1. Раскроем скобки: \[ (3a + 2)^2 - 6a(a + 2) = 9a^2 + 12a + 4 - 6a^2 - 12a. \]

2. Упростим выражение: \[ 9a^2 + 12a + 4 - 6a^2 - 12a = 3a^2 - 8a + 4. \]

3. Поставим неравенство в стандартную квадратичную форму: \[ 3a^2 - 8a + 4 > 0. \]

4. Решим квадратное уравнение: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16. \] Дискриминант \( D \) положителен, следовательно, у нас есть два действительных корня.

5. Найдем корни уравнения: \[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 4}{6}. \] Получаем \( a_1 = 2 \) и \( a_2 = \frac{1}{3} \).

6. Исследуем знак выражения в интервалах между корнями: - Если \( a < \frac{1}{3} \), то оба множителя \( (3a + 2)^2 \) и \( -6a(a + 2) \) положительны. Значит, их разность тоже положительна. - Если \( \frac{1}{3} < a < 2 \), то \( (3a + 2)^2 > 0 \), но \( -6a(a + 2) < 0 \), так как множители имеют разные знаки. Значит, их разность отрицательна. - Если \( a > 2 \), то оба множителя снова положительны.

7. Итог: Условие \( 3a^2 - 8a + 4 > 0 \) выполняется при \( a < \frac{1}{3} \) и \( a > 2 \).