Question

Sinx+Cosx=a (Sin)^5x+(Cos)^5x=?

Answer 1

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться формулой сокращенного умножения для степеней синуса и косинуса:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Умножим обе части уравнения на (sin^3(x) + cos^3(x)):

(sin^2(x) + cos^2(x))(sin^3(x) + cos^3(x)) = (sin^3(x) + cos^3(x))

sin^5(x) + sin^3(x)cos^2(x) + sin^2(x)cos^3(x) + cos^5(x) = sin^3(x) + cos^3(x)

Теперь заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)) и cos^2(x) на (1 - sin^2(x)):

sin^5(x) + sin^3(x)(1 - sin^2(x)) + (1 - sin^2(x))sin^3(x) + cos^5(x) = sin^3(x) + cos^3(x)

Упростим выражение:

sin^5(x) + sin^3(x) - sin^5(x) + sin^3(x) - sin^5(x) + cos^5(x) = sin^3(x) + cos^3(x)

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

3sin^3(x) + cos^5(x) = sin^3(x) + cos^3(x)

Вычтем sin^3(x) и cos^3(x) из обеих частей уравнения:

2sin^3(x) + cos^5(x) - sin^3(x) - cos^3(x) = 0

sin^3(x) + cos^5(x) - sin^3(x) - cos^3(x) = 0

Упростим выражение:

cos^5(x) - cos^3(x) = 0

Теперь факторизуем выражение:

cos^3(x)(cos^2(x) - 1) = 0

cos^3(x)(cos(x) - 1)(cos(x) + 1) = 0

Таким образом, получаем три возможных значения x:

1) cos^3(x) = 0, что означает, что cos(x) = 0. Тогда x может быть равен pi/2 + n*pi, где n - целое число.

2) cos(x) - 1 = 0, что означает, что cos(x) = 1. Тогда x может быть равен 2*pi*n, где n - целое число.

3) cos(x) + 1 = 0, что означает, что cos(x) = -1. Тогда x может быть равен pi + 2*pi*n, где n - целое число.

Таким образом, уравнение sin(x) + cos(x) = a + sin^5(x) + cos^5(x) имеет бесконечное количество решений, которые задаются выражениями:

1) x = pi/2 + n*pi, где n - целое число. 2) x = 2*pi*n, где n - целое число. 3) x = pi + 2*pi*n, где n - целое число.