Question

 найти неопределённый интеграл exp(x)/3+4*exp(x)

Answer 1

В данном случае мы должны найти неопределенный интеграл от функции exp(x)/(3+4exp(x)).

Мы используем метод замены переменной, чтобы привести интеграл к более простому виду.

Пусть u = exp(x), тогда du/dx = exp(x), или dx = du/u.

Теперь мы подставляем выражения для u и dx в интеграл:

∫(exp(x)/(3+4exp(x)))dx = ∫(1/(3+4u))(du/u)

Разбиваем интеграл на две части:

∫(1/(3+4u))(du/u) = ∫(1/(3+4u)) du - ∫(1/u) du

Первый интеграл легко решается с использованием метода замены переменной. Пусть w = 3 + 4u. Тогда dw/du = 4 и du = dw/4.

∫(1/(3+4u)) du = ∫(1/w)(dw/4) = (1/4)∫(1/w) dw = (1/4)ln|w| + C1

Теперь рассмотрим второй интеграл:

∫(1/u) du = ln|u| + C2

Теперь мы объединяем два интеграла:

∫(exp(x)/(3+4exp(x)))dx = (1/4)ln|w| + C1 - ln|u| + C2

Теперь мы подставляем обратные значения переменных u и w:

(1/4)ln|w| + C1 - ln|u| + C2 = (1/4)ln|3+4u| + C1 - ln|exp(x)| + C2

Сокращаем ln|exp(x)| с ln|u|:

(1/4)ln|3+4u| + C1 - ln|exp(x)| + C2 = (1/4)ln|3+4exp(x)| + C1 - ln|exp(x)| + C2

Далее, применяем свойство логарифма ln(x^n) = nln(x):

(1/4)ln|3+4exp(x)| + C1 - ln|exp(x)| + C2 = (1/4)ln|3+4exp(x)| + C3 - x + C4

Где C3 = C1 - ln(1/4) и C4 = C2 + 1.

Таким образом, окончательный ответ:

∫(exp(x)/(3+4exp(x)))dx = (1/4)ln|3+4exp(x)| - x + C