Question

34б.Помогите очень прошу!!!!!!!!!Очень нужно и срочно!!!!!!!!!Розвяжіть рівнянн:1)8sin²3x+4sin²6x=5 2)4tg5x+3ctg5x=7

Answer 1

Конечно, я помогу вам с решением данных уравнений. Давайте по очереди разберем каждое уравнение.

Уравнение 1: 8sin²(3x) + 4sin²(6x) = 5

Для начала заметим, что данное уравнение содержит квадраты синусов. Мы можем воспользоваться тригонометрической тождеством, которое утверждает, что sin²(x) = (1 - cos(2x)) / 2.

Применяя данное тождество, мы можем преобразовать уравнение:

8(1 - cos(6x)) / 2 + 4(1 - cos(12x)) / 2 = 5

Упростим это уравнение:

4(1 - cos(6x)) + 2(1 - cos(12x)) = 5

4 - 4cos(6x) + 2 - 2cos(12x) = 5

-4cos(6x) - 2cos(12x) = -1

Теперь мы можем привести это уравнение к виду, где есть только одна тригонометрическая функция. Для этого воспользуемся формулой суммы косинусов: cos(a) + cos(b) = 2cos((a + b) / 2) * cos((a - b) / 2).

Применим данную формулу к уравнению:

-4[cos(6x) + cos(12x)] = -1

Теперь мы можем сделать замену переменной: y = 6x. Тогда уравнение примет вид:

-4[cos(y) + cos(2y)] = -1

Раскроем скобки:

-4cos(y) - 4cos(2y) = -1

Теперь мы можем применить формулу суммы косинусов:

-4[2cos²(y) - 1] - 4cos(y) = -1

-8cos²(y) + 4 - 4cos(y) - 4cos(y) = -1

-8cos²(y) - 8cos(y) + 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(y). Решим его с помощью квадратного трехчлена:

cos(y) = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = -8, b = -8 и c = 3. Подставим значения:

cos(y) = (8 ± √(64 - 96)) / (-16)

cos(y) = (8 ± √(-32)) / (-16)

Так как подкоренное выражение отрицательное, у нас нет реальных решений для этого уравнения. Таким образом, уравнение 8sin²(3x) + 4sin²(6x) = 5 не имеет решений.

Уравнение 2: 4tg(5x) + 3ctg(5x) = 7

Для начала заметим, что данное уравнение содержит тангенсы и котангенсы. Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, которые утверждают, что tg(x) = sin(x) / cos(x) и ctg(x) = cos(x) / sin(x).

Применим данные тождества к уравнению:

4(sin(5x) / cos(5x)) + 3(cos(5x) / sin(5x)) = 7

Распишем каждое слагаемое отдельно:

(4sin(5x) / cos(5x)) + (3cos(5x) / sin(5x)) = 7

Умножим оба члена уравнения на (cos(5x) * sin(5x)), чтобы избавиться от знаменателей:

4sin²(5x) + 3cos²(5x) = 7cos(5x)sin(5x)

Мы можем заметить, что sin²(5x) + cos²(5x) = 1 (тождество Пифагора). Применим это тождество:

4(1 - cos²(5x)) + 3cos²(5x) = 7cos(5x)sin(5x)

4 - 4cos²(5x) + 3cos²(5x) = 7cos(5x)sin(5x)

-4cos²(5x) + 4 + 3cos²(5x) = 7cos(5x)sin(5x)

-1cos²(5x) + 4 = 7cos(5x)sin(5x)

cos(5x)(-cos(5x) + 7sin(5x)) = 4

Теперь у нас есть произведение двух функций, равное константе. Так как -cos(5x) + 7sin(5x) не равно нулю для всех значений x, мы можем поделить обе части уравнения на (-cos(5x) + 7sin(5x)):

cos(5x) = 4 / (-cos(5x) + 7sin(5x))

Теперь мы можем рассмотреть два случая: когда (-cos(5x) + 7sin(5x)) > 0 и когда (-cos(5x) + 7sin(5x)) < 0.

В первом случае, когда (-cos(5x) + 7sin(5x)) > 0:

cos(5x) > 0

5x = 2πn + arccos(4 / (-cos(5x) + 7sin(5x)))

где n - целое число.

Аналогично, во втором случае, когда (-cos(5x) + 7sin(5x)) < 0:

cos(5x) < 0

5x = π + 2πn - arccos(4 / (-cos(5x) + 7sin(5x)))

где n - целое число.

Таким образом, уравнение 4tg(5x) + 3ctg(5x) = 7 имеет бесконечное количество решений в виде x = (2πn + arccos(4 / (-cos(5x) + 7sin(5x)))) / 5 и x = (π + 2πn - arccos(4 / (-cos(5x) + 7sin(5x)))) / 5, где n - целое число.

Надеюсь, эта информация поможет вам в решении данных уравнений. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.