Question

Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей (1 1 8 0 2 0 1 0 -1)

Answer 1

Для нахождения собственных векторов линейного оператора, заданного матрицей

1  1  8
0  2  0
1  0 -1

мы должны найти векторы, для которых умножение на эту матрицу приводит к получению этого же вектора, умноженного на некоторое число (собственное значение). Другими словами, мы ищем векторы `v`, для которых выполняется условие:

Av = λv

где `A` - матрица линейного оператора, `v` - собственный вектор, а `λ` - собственное значение.

Шаг 1: Нахождение собственных значений

Для начала, найдем собственные значения, решив характеристическое уравнение:

det(A - λI) = 0

где `I` - единичная матрица размерности 3x3.

Вычислим определитель:

|1-λ  1   8 |
| 0   2-λ  0 |
| 1   0  -1-λ| = 0

Раскроем определитель и приравняем его к нулю:

(1-λ)((2-λ)(-1-λ) - 0) - (1)(0 - 0) + (8)(0 - 2(1-λ)) = 0

Упростим выражение:

(1-λ)(λ^2 - λ - 2) - 16(1-λ) = 0

Раскроем скобки:

(1-λ)(λ^2 - λ - 2 - 16) = 0

Упростим выражение:

(1-λ)(λ^2 - λ - 18) = 0

Разложим квадратное уравнение на множители:

(1-λ)(λ-3)(λ+6) = 0

Таким образом, получаем три собственных значения: `λ1 = 1`, `λ2 = 3`, `λ3 = -6`.

Шаг 2: Нахождение собственных векторов

Для каждого собственного значения найдем соответствующий собственный вектор, решив систему уравнений:

(A - λI)v = 0

Для `λ1 = 1`:

(1-1)  1   8   v1   0
  0   (2-1)  0   v2 = 0
  1    0  (-1-1) v3   0

Упростим систему уравнений:

0  1  8   v1   0
0  1  0   v2 = 0
1  0 -2   v3   0

Из второго уравнения получаем `v2 = 0`. Подставим это значение в первое и третье уравнения:

v1 + 8v3 = 0
v1 - 2v3 = 0

Мы можем выбрать произвольное значение для `v3` (например, `v3 = 1`), и затем решить систему уравнений:

v1 + 8(1) = 0
v1 - 2(1) = 0

Решая эту систему, получаем `v1 = -8` и `v2 = 0`. Таким образом, для `λ1 = 1` собственный вектор равен `v1 = [-8, 0, 1]`.

Аналогично, для `λ2 = 3`:

-2  1  8   v1   0
 0  -1  0   v2 = 0
 1   0 -4   v3   0

Упростим систему уравнений:

-2  1  8   v1   0
 0 -1  0   v2 = 0
 1  0 -4   v3   0

Из второго уравнения получаем `v2 = 0`. Подставим это значение в первое и третье уравнения:

-2v1 + 8v3 = 0
 v1 - 4v3 = 0

Мы можем выбрать произвольное значение для `v3` (например, `v3 = 1`), и затем решить систему уравнений:

-2v1 + 8(1) = 0
 v1 - 4(1) = 0

Решая эту систему, получаем `v1 = 4` и `v2 = 0`. Таким образом, для `λ2 = 3` собственный вектор равен `v2 = [4, 0, 1]`.

Наконец, для `λ3 = -6`:

 7  1  8   v1   0
 0  8  0   v2 = 0
 1  0  5   v3   0

Упростим систему уравнений:

 7  1  8   v1   0
 0  8  0   v2 = 0
 1  0  5   v3   0

Из второго уравнения получаем `v2 = 0`. Подставим это значение в первое и третье уравнения:

 7v1 + 8v3 = 0
 v1 + 5v3 = 0

Мы можем выбрать произвольное значение для `v3` (например, `v3 = 1`), и затем решить систему уравнений:

 7v1 + 8(1) = 0
 v1 + 5(1) = 0

Решая эту систему, получаем `v1 = -8` и `v2 = 0`. Таким образом, для `λ3 = -6` собственный вектор равен `v3 = [-8, 0, 1]`.

Ответ:

Таким образом, собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

1  1  8
0  2  0
1  0 -1

соответствующие собственным значениям `λ1 = 1`, `λ2 = 3`, `λ3 = -6`, равны:

- Для `λ1 = 1`: собственный вектор `v1 = [-8, 0, 1]`. - Для `λ2 = 3`: собственный вектор `v2 = [4, 0, 1]`. - Для `λ3 = -6`: собственный вектор `v3 = [-8, 0, 1]`.

Обратите внимание: Векторы могут быть умножены на любую ненулевую константу и останутся собственными векторами. Таким образом, собственные векторы можно нормализовать, чтобы их длина была равна 1.