Question

Докажите неравенство: а) (х – 2)2 > х(х – 4); б) а2 + 1 >или=2(3а – 4)

Answer 1

Конечно, давайте решим данные неравенства.

1. \((x - 2)^2 > x(x - 4)\)

Для начала раскроем скобки в левой части неравенства:

\((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\)

Теперь перепишем правую часть неравенства \(x(x - 4)\):

\(x(x - 4) = x^2 - 4x\)

Таким образом, неравенство принимает вид:

\[x^2 - 4x + 4 > x^2 - 4x\]

Теперь приведем подобные члены и упростим:

\[x^2 - 4x + 4 > x^2 - 4x\]

Сокращаем \(x^2\) и \(-4x\) с обеих сторон:

\[4 > 0\]

Это верное утверждение, так как любое положительное число больше нуля. Получается, что данное неравенство выполняется для любого значения \(x\).

2. \(a^2 + 1 \geq 2(3a - 4)\)

Начнем с раскрытия правой части неравенства:

\(2(3a - 4) = 6a - 8\)

Теперь у нас имеется следующее неравенство:

\[a^2 + 1 \geq 6a - 8\]

Переносим все члены на одну сторону:

\[a^2 - 6a + 9 \geq 0\]

Теперь попробуем факторизовать квадратное уравнение \(a^2 - 6a + 9\):

\[a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2\]

Теперь у нас есть:

\((a - 3)^2 \geq 0\)

Квадрат любого числа неотрицательный, так как он либо равен нулю, либо положителен. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения \(a\).

Итак, оба неравенства выполняются для всех \(x\) и \(a\).