Question

на некотором участке для мотоцикла-гонщика имеется три препятствия вероятность остановки на каждом из которых равна 0.3. найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа остановок мотоциклиста

Answer 1

Для нахождения закона распределения и математического ожидания случайного числа остановок мотоциклиста на участке, воспользуемся биномиальным распределением.

Биномиальное распределение описывает количество успехов в серии независимых испытаний, где каждое испытание имеет два возможных исхода: успех или неудача. В данном случае успехом будет считаться остановка на препятствии, а неудачей – прохождение препятствия без остановки.

Пусть X – случайное число остановок мотоциклиста на участке. В данной задаче количество испытаний определяется количеством препятствий, то есть n=3.

Вероятность успеха на каждом испытании равна 0.3, поэтому p=0.3. Вероятность неудачи (прохождения препятствия без остановки) равна 0.7, q=0.7.

Закон распределения для случайной величины X имеет вид:

P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k),

где C(n,k) – число сочетаний из n по k – можно найти с помощью формулы C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!).

Теперь найдем закон распределения для каждой возможной остановки:

P(X=0) = C(3,0) * 0.3^0 * 0.7^3 = 1 * 1 * 0.343 = 0.343, P(X=1) = C(3,1) * 0.3^1 * 0.7^2 = 3 * 0.3 * 0.49 = 0.441, P(X=2) = C(3,2) * 0.3^2 * 0.7^1 = 3 * 0.09 * 0.7 = 0.189, P(X=3) = C(3,3) * 0.3^3 * 0.7^0 = 1 * 0.027 * 1 = 0.027.

Таким образом, закон распределения случайной величины X будет:

P(X=0) = 0.343, P(X=1) = 0.441, P(X=2) = 0.189, P(X=3) = 0.027.

Теперь найдем математическое ожидание E(X) случайного числа остановок мотоциклиста на участке. Математическое ожидание вычисляется по формуле:

E(X) = ∑(k * P(X=k)),

где ∑ – сумма по всем возможным значениям k.

Вычислим математическое ожидание:

E(X) = 0 * 0.343 + 1 * 0.441 + 2 * 0.189 + 3 * 0.027 = 0 + 0.441 + 0.378 + 0.081 = 0.9.

Таким образом, математическое ожидание случайного числа остановок мотоциклиста на участке равно 0.9.