Question

Реши неравенство: 2⋅log^2 4t−12log4t+16≤0

Answer 1

Для решения неравенства 2⋅log^2(4t) - 12⋅log(4t) + 16 ≤ 0, мы можем использовать метод замены переменной, чтобы привести его к квадратному уравнению.

Давайте введем новую переменную u = log(4t). Тогда мы можем переписать неравенство в терминах переменной u:

2⋅u^2 - 12⋅u + 16 ≤ 0

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать различные методы, например, метод дискриминанта или графический метод. Давайте воспользуемся методом дискриминанта.

Решение с использованием дискриминанта:

Дискриминант D для уравнения 2⋅u^2 - 12⋅u + 16 равен:

D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(2)(16) = 144 - 128 = 16

Если D > 0, то у уравнения есть два различных корня. Если D = 0, то у уравнения есть один корень. Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней.

В нашем случае D = 16, что означает, что у уравнения есть два различных действительных корня.

Вычислим значения корней уравнения, используя формулу:

u = (-b ± √D) / (2a)

где a = 2, b = -12 и c = 16.

u1 = (-(-12) + √16) / (2⋅2) = (12 + 4) / 4 = 16/4 = 4 u2 = (-(-12) - √16) / (2⋅2) = (12 - 4) / 4 = 8/4 = 2

Теперь у нас есть два значения переменной u, которые являются корнями нашего квадратного уравнения.

Вспомним, что u = log(4t). Теперь мы можем решить уравнение относительно t, используя найденные значения u:

Для u = 4: log(4t) = 4 4t = 10^4 4t = 10000 t = 10000 / 4 t = 2500

Для u = 2: log(4t) = 2 4t = 10^2 4t = 100 t = 100 / 4 t = 25

Таким образом, решение исходного неравенства 2⋅log^2(4t) - 12⋅log(4t) + 16 ≤ 0 в терминах переменной t будет:

t ≤ 25 или t ≥ 2500.

Пожалуйста, обратите внимание, что это представление решения в терминах t, полученное из решения в терминах u.