Question

Доказать, что среди любых 13ти целых чисел найдутся два,разность которых делится нацело на 12

Answer 1

Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Бартона.

Рассмотрим 13 целых чисел: a1, a2, ..., a13.

Рассмотрим 12 различных остатков по модулю 12: 0, 1, 2, ..., 11.

Если есть два числа ai и aj, которые имеют одинаковый остаток по модулю 12, тогда их разность ai - aj будет делиться нацело на 12.

Рассмотрим случай, когда все числа имеют разные остатки по модулю 12. В этом случае, по принципу Дирихле, так как у нас есть 13 чисел и 12 возможных остатков по модулю 12, то обязательно найдутся два числа, которые имеют одинаковые остатки.

Таким образом, в любом наборе из 13ти целых чисел найдутся два числа, разность которых делится нацело на 12.