Question

СРОЧНО!!! Упростить выражение. 4*sin^4(x)-4*sin^2(x)+sin^2(2x)+ctg(x)*tg(2x)*(tg^2(x)-1)

Answer 1

Конечно, рассмотрим упрощение этого выражения по частям:

\[4\sin^4(x) - 4\sin^2(x) + \sin^2(2x) + \cot(x) \tan(2x) (\tan^2(x) - 1)\]

Начнем с разложения тригонометрических функций. Давайте перепишем \(\sin^2(2x)\) и \(\cot(x)\) через более простые функции:

\(\sin^2(2x) = (\sin(2x))^2\)

Используем тригонометрическую формулу двойного угла: \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\). Тогда \(\sin^2(2x) = (2\sin(x)\cos(x))^2 = 4\sin^2(x)\cos^2(x)\).

Теперь рассмотрим \(\cot(x)\) и \(\tan(2x)\):

\(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\)

И \(\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}\)

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:

\[4\sin^4(x) - 4\sin^2(x) + 4\sin^2(x)\cos^2(x) + \frac{1}{\tan(x)} \cdot \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)} \left(\tan^2(x) - 1\right)\]

Упростим это выражение дальше:

\[4\sin^4(x) - 4\sin^2(x) + 4\sin^2(x)\cos^2(x) + \frac{2\tan(x)}{\tan(x)(1 - \tan^2(x))} \left(\tan^2(x) - 1\right)\]

\[4\sin^4(x) - 4\sin^2(x) + 4\sin^2(x)\cos^2(x) + \frac{2(\tan^2(x) - 1)}{1 - \tan^2(x)}\]

Теперь можем попробовать дальнейшее упрощение или преобразование этого выражения в другую форму, если нужно.