Question

Найти корни многочлена: 64х^5 - 16x^4 + x^3 Общий корень вынесла, дальше не получается.

Answer 1

Конечно, давайте найдем корни заданного многочлена. По вашему запросу, у вас есть многочлен \(64x^5 - 16x^4 + x^3\). Если общий корень уже найден, это может существенно упростить задачу.

Предположим, что \(r\) - общий корень. Тогда многочлен делится на \((x - r)\) без остатка. Таким образом, у нас есть уравнение:

\[64x^5 - 16x^4 + x^3 = 0\]

Мы можем факторизовать многочлен, выделив общий множитель \(x^3\):

\[x^3(64x^2 - 16x + 1) = 0\]

Теперь у нас есть два множителя: \(x^3\) и \(64x^2 - 16x + 1\). Первый множитель \(x^3\) дает корень \(x = 0\).

Теперь давайте рассмотрим второй множитель \(64x^2 - 16x + 1\). Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти корни:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

где \(a = 64\), \(b = -16\), и \(c = 1\).

Формула для корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставим значения:

\[x = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4(64)(1)}}{2(64)}\]

\[x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 256}}{128}\]

\[x = \frac{16 \pm \sqrt{0}}{128}\]

\[x = \frac{16 \pm 0}{128}\]

\[x = \frac{16}{128} = \frac{1}{8}\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{8}\). Если у вас есть еще какие-либо общие корни, их также следует учесть в решении.