Question

Докажите, что при любых значениях m верно неравенство m(1+5m)>=m^2+5m-1

Answer 1

Давайте рассмотрим данное неравенство и докажем его для любых значений m.

Неравенство, которое нужно доказать, выглядит следующим образом:

m(1 + 5m) >= m^2 + 5m - 1

Разложение выражения:

Для начала, разложим выражение m(1 + 5m) и упростим его:

m + 5m^2 >= m^2 + 5m - 1

Перенос всех членов в одну сторону:

Теперь перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

5m^2 - m^2 + 5m - m - 1 >= 0

4m^2 + 4m - 1 >= 0

Решение квадратного уравнения:

Для решения данного квадратного уравнения, можно использовать метод дискриминанта.

Дискриминант (D) квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В данном случае, у нас есть следующие значения:

a = 4 b = 4 c = -1

Вычислим дискриминант:

D = (4)^2 - 4 * 4 * (-1) = 16 + 16 = 32

Анализ дискриминанта:

Так как дискриминант D больше нуля (D > 0), то уравнение имеет два корня.

Решение неравенства:

Для решения данного неравенства, нужно найти интервалы, в которых неравенство выполняется.

1) Когда m < -1:

В этом случае, неравенство m(1 + 5m) >= m^2 + 5m - 1 будет выполняться, так как обе стороны неравенства будут отрицательными.

2) Когда -1 <= m <= 0:

В этом интервале, неравенство m(1 + 5m) >= m^2 + 5m - 1 также будет выполняться, так как обе стороны неравенства будут неотрицательными.

3) Когда m > 0:

В этом случае, неравенство m(1 + 5m) >= m^2 + 5m - 1 будет выполняться, так как обе стороны неравенства будут положительными.

Вывод:

Таким образом, мы доказали, что неравенство m(1 + 5m) >= m^2 + 5m - 1 выполняется для любых значений m.