Question

Урарлсин. При каких значениях параметра а уравнение (ах — 2) (x^2 — 4х + 3) = 0 имеет ровнодва корня? Для каждого значения параметра а укажите соответствующие корниуравнения.​

Answer 1

Чтобы определить, при каких значениях параметра \( a \) уравнение \( a(x - 2)(x^2 - 4x + 3) = 0 \) имеет два одинаковых корня, давайте проанализируем уравнение.

Сначала упростим уравнение:

\[ a(x - 2)(x^2 - 4x + 3) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ a(x^3 - 2x^2 - 4x^2 + 8x + 3x - 6) = 0 \]

Сгруппируем по степеням \( x \):

\[ a(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 0 \]

Теперь рассмотрим, при каких значениях \( a \) это уравнение имеет два одинаковых корня. Уравнение имеет два одинаковых корня, если его квадратное выражение \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) имеет дискриминант равный нулю.

Дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c \) равен \( D = b^2 - 4ac \). В данном случае у нас кубическое уравнение, но мы рассматриваем его квадратное выражение, которое получается из разложения куба. Так что, в данном контексте, дискриминант \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) равен

\[ D = (-6)^2 - 4(-6)(11) = 36 + 264 = 300 \]

Уравнение имеет два одинаковых корня, если \( D = 0 \). Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[ 300 = 0 \]

Это уравнение не имеет решений в действительных числах. Таким образом, при любом значении параметра \( a \) уравнение \( a(x - 2)(x^2 - 4x + 3) = 0 \) не имеет двух одинаковых корней.