Question

Найти неопределенный интеграл dx/(x^2 +6x +8)

Answer 1

Конечно, давайте найдем неопределенный интеграл:

\[ \int \frac{dx}{x^2 + 6x + 8} \]

Для решения данного интеграла мы можем попытаться преобразовать выражение в более удобную форму. Для этого давайте разложим знаменатель на множители:

\[ x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) \]

Теперь мы можем переписать интеграл следующим образом:

\[ \int \frac{dx}{(x + 2)(x + 4)} \]

Теперь давайте воспользуемся методом частных дробей для разложения дроби на более простые части:

\[ \frac{1}{(x + 2)(x + 4)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 4} \]

Умножим обе стороны на общий знаменатель, чтобы избавиться от дроби:

\[ 1 = A(x + 4) + B(x + 2) \]

Раскроем скобки и сгруппируем по степеням \(x\):

\[ 1 = (A + B)x + 4A + 2B \]

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях \(x\). Сравнивая коэффициенты при \(x\), получаем \(A + B = 0\), а при свободном члене получаем \(4A + 2B = 1\).

Из первого уравнения следует, что \(B = -A\). Подставим это значение во второе уравнение:

\[ 4A + 2(-A) = 1 \]

Решая это уравнение, получаем \(A = -\frac{1}{2}\), а, следовательно, \(B = \frac{1}{2}\).

Теперь мы можем вернуться к исходному интегралу:

\[ \int \frac{dx}{(x + 2)(x + 4)} = -\frac{1}{2} \int \frac{dx}{x + 2} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x + 4} \]

Интегрируем каждую из частей по отдельности:

\[ = -\frac{1}{2} \ln |x + 2| + \frac{1}{2} \ln |x + 4| + C \]

где \(C\) - константа интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл \(\int \frac{dx}{x^2 + 6x + 8}\) равен:

\[ -\frac{1}{2} \ln |x + 2| + \frac{1}{2} \ln |x + 4| + C \]

где \(C\) - произвольная константа.