Question

Решите с помощью интервалов: (х+7)(х-9)<0 (х-1)(х+1)(х-3)<0 (х+30)(х+40)(х-11)<0 (х-3)(х+4)(х-11)<0

Answer 1

Чтобы решить систему неравенств с помощью интервалов, мы должны найти интервалы, на которых каждое неравенство выполняется. В данном случае у нас есть четыре неравенства:

1. \((x + 7)(x - 9) < 0\) 2. \((x - 1)(x + 1)(x - 3) < 0\) 3. \((x + 30)(x + 40)(x - 11) < 0\) 4. \((x - 3)(x + 4)(x - 11) < 0\)

Чтобы найти интервалы, на которых каждое из этих неравенств выполняется, давайте вначале найдем точки, где левая часть каждого неравенства равна нулю. Эти точки разбивают весь вещественный интервал на подинтервалы.

Для неравенства \((x + 7)(x - 9) < 0\):

Точки разрыва (точки, где выражение равно нулю): \(x = -7\) и \(x = 9\).

Для неравенства \((x - 1)(x + 1)(x - 3) < 0\):

Точки разрыва: \(x = 1\), \(x = -1\) и \(x = 3\).

Для неравенства \((x + 30)(x + 40)(x - 11) < 0\):

Точки разрыва: \(x = -30\), \(x = -40\) и \(x = 11\).

Для неравенства \((x - 3)(x + 4)(x - 11) < 0\):

Точки разрыва: \(x = 3\), \(x = -4\) и \(x = 11\).

Теперь мы можем построить таблицу для каждого неравенства, указывая знак выражения на каждом подинтервале между точками разрыва.

\[ \begin{array}{cccccccc} & -\infty & \cdots & -40 & \cdots & -30 & \cdots & -7 & \cdots & -4 & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots & 9 & \cdots & 11 & \cdots & \infty \\ (x + 7)(x - 9) & - & - & + & + & + & + & + & + & + & + & + & + & + & + & - & - & - & - & - \\ (x - 1)(x + 1)(x - 3) & - & - & - & - & + & + & + & + & - & - & - & - & + & + & + & + & - & - & - \\ (x + 30)(x + 40)(x - 11) & + & + & + & + & + & + & + & + & + & + & + & + & + & - & - & - & - & - & - \\ (x - 3)(x + 4)(x - 11) & - & - & - & - & - & - & + & + & + & + & + & + & + & - & - & - & - & - & - \\ \end{array} \]

Теперь решение системы неравенств - это пересечение интервалов, на которых каждое из неравенств выполнено. Пересекаются только те интервалы, где все четыре неравенства имеют разные знаки.

Итак, решение системы неравенств:

\[ \begin{align*} &(-40, -30) \cup (-7, -4) \cup (3, 9) \cup (11, \infty) \end{align*} \]

Это множество всех значений переменной \(x\), для которых система неравенств выполняется.